苏教版 必修4平面基本定理.ppt

回顾： 回顾： 1、实数与向量的积 2、运算定律 3、向量共线定理 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 一、①λ 的定义及运算律 ②向量共线定理 ( ≠0) 向量 与 共线 回顾 想一想？ ２．学生活动： 已知 是同一平面内的两个 是这一平面内的任一向量． 不共线向量， ? 探究１： 与 的关系 ２．学生活动： A A O A B M N C 即 思考： ①是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ ②对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度 新课引入：情景1 在物理学中我们知道，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1，和使物体垂直与斜面压紧斜面的力F2， 情景2 G F1 F2 思考1 给定一个向量 是否可以分解成两个不共线方向上的 向量之和, 即 O C M N A B 思考2 平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？ e2 a e1 a e2 e1 在同一平面内有两个不共线的向量e1，e2 ，给定向量a，那么向量a，存在一对实数λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2． 结论 平面向量基本定理 基底 线性组合 如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2． （1）我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base） （3）当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解； （2）一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我们称它为向量的分解． 对定理的理解: 1)基底: 不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量的和的形式； 3)分解是唯一的 a （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E F F A N M C N M M O C N E B a O C M 思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） O C F M N a E E A B N OC = 2OB + ON OC = 2OA +OE OC = OF + OE 特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： 特别的，若a与 （ ）共线，则有 =0（ =0），使得: a = + . = = 0 ？若 与 中只有一个为零，情况会是怎样？ 可使 0 = + . 例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 . 于是OC就是所求作的向量. (2)作　OACB. e1 e2 O C 作法：(1)任取一点o, 作OA=-2.5e1,OB=3e2 -2.5e1 A B 3e2 给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2，其他任 一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式？ N M a C e1 e2 o B A OC=OM+ON = xe1+y e2 e1 e2 a o C a N M F E 思考:平面内,向量的基底是否唯一？ e1 e2 a N M e1 e2 o a C OC=OM+ON = xe1+y e2 平行四边形做法唯一，所以实数对x,y存在唯一 例1、 如图， ABCD的两条对角线相交于点Ｍ，且AB=a,AD=b,用a、b表示MA、MB、MC和MD。 B A C Ｄ M 解：在 ABCD中，∵ AC＝AB+AD= a+b, DB＝AB－AD= a－b， ∴MA=(-1/2)AC= (-1/2)(a+b) b a MB=(1/2)DB= (1/2)(a－b) → → MＣ=(1/2)ＡＣ= (1/2)(a＋b) → → ＭＤ＝－MB=(-1/2)DB= (-1/2)(a－b) → → B 练习 → 2.已知△ABC中，D是BC的中点，用向量 ， 表示向量 → → → → 1、若e1，e2是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作