若干微分方程模型求解.ppt

* 铅球掷远的数学模型 问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h，出手角度为 （与地面的夹角），建立投掷距离与V、h、 的关系式，并在V、h一定的条件下求最佳出手角度和最远距离。 模型1——抛射模型 在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度和投掷角度对铅球的影响。 假设： 1、铅球被看成一个质点。 2、铅球运动过程中的空气阻力不计。 3、投掷角和初速度是相互独立的。 4、设铅球的质量为m， 建立坐标系如图 在t时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学定律知，铅球运动的两个微分方程是： 解之得 所以铅球的运动轨迹为 令y=0 ，铅球落地的距离为 它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球投掷模型。 由（2-1），关系式（2-2）可表示为 得最佳出手角度为 投掷的最远距离 设h=1.5米，v=10米/秒 ，则 模型2——铅球投掷模型 下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。 关于铅球的投掷过程我们假设： 1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度 。 2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间 。 3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手角度 相同。 用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组建铅球的投掷模型。 模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况，因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。 若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假设3我们有 式中m为铅球的质量，F是对铅球的推力， 为力的方向既铅球的出手角度。 根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球， 时铅球出手，在区间 上积分（2-3）可得 其中 分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。 由假设1，有 于是我们得到 由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度 式中 是推铅球时力的作用时间。 将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。 分析出手速度模型(2-4)，不难看出v随着F和 的增加而增大，显然v随着 的增加而增大。这与我们的常识也是一致的。由于 ，由(2-4)式还可以看出v将随着 的增加而减少。因此，当推力F和作用时间 不变时，运动员要提高铅球的出手角度 ，就必须以降低出手速度为代价，所以对于铅球投掷来说，模型1所给出的“最佳出手角度”不一定是最佳的。 进一步分析铅球投掷模型2，我们还可以得到铅球投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型1所给出的最佳角度。对模型2还可以给出类似于模型1的全部分析，这些我们留给读者去完成。 思考题：1、建立跳高的数学模型。 减肥的数学模型 问题：如何建立减肥的数学模型？ 问题分析： “肥者”从某种意义下说就是脂肪过多以至超过标准，数学建模就要由此入手。 模型假设： (1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其中b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。 (2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有效，而1千克脂肪含热量是42000焦耳。 (3)设体重W是时间t的连续可微函数，即W＝W(t)。 数学建模： 每天：体重的变化＝输入－输出 输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。 输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。 于是每天净吸收量＝ 每天净输出量＝ 所以在t到t＋ t 时间内体重的变化： 体重变化的数学模型： 应用分离变量法，解方程(3-1)得 利用初始条件得 从而得 对(3-3)式求导得 由(3-1)、(3-3)及(3-4)可以对减（增）肥分析如下： １、若a－b ，即净吸收大于总消耗， 0， 则体重增加。 ２、若a－b ，即净吸收小于总消耗， 0， 则体重减少。 ３、若a－b＝