走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学11-4.doc

基础巩固强化一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n(nN*，n1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋2　　　　　 　B．1＋＋2 C．1＋＋3 D．1＋＋＋3 [答案]　B [解析]　n∈N*，n1，n取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝，故选B. 2．某个命题与自然数n有关，若n＝k(kN*)时命题成立，则可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　) A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立 [答案]　C [解析]　“若n＝k(kN*)时命题成立，则当n＝k＋1时，该命题也成立”，故若n＝4时命题成立，则n＝5时命题也应成立，现已知n＝5时，命题不成立，故n＝4时，命题也不成立． [点评]　可用逆否法判断． 3．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加(　　) A．k2 B．(k＋1)2 C．k2＋(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋k2 [答案]　D [解析]　当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，选D. 4．(2013·安徽黄山联考)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝(　　)时等式成立．(　　) A．k＋1 B．k＋2 C．2k＋2 D．2(k＋2) [答案]　B [解析]　n＝k为偶数，下一个偶数应为n＝k＋2，故选B. 5．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是(　　) A．an＝3n－2 B．an＝n2 C．an＝3n－1 D．an＝4n－3 [答案]　B [解析]　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2. 二、填空题 6．如果不等式2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为________． [答案]　5 [解析]　当n＝1时，22不成立， 当n＝2时，45不成立． 当n＝3时，810不成立 当n＝4时，1617不成立 当n＝5时，3226成立 当n＝6时，6437成立，由此猜测n0应取5. 7．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(nN*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时等式左边的差等于________． [答案]　3k＋2 [解析]　[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[(k＋1)＋(k＋1)]－[(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)] ＝[(k＋1)＋k]＋[(k＋1)＋(k＋1)]－(k＋1) ＝3k＋2. 8．(2012·温州一模)已知nN*，设平面上的n个椭圆最多能把平面分成an部分，则a1＝2，a2＝6，a3＝14，a4＝26，…，则an＝________. [答案]　2n2－2n＋2 [解析]　观察规律可知an－an－1＝(n－1)×4，利用累加法可得an＝2n2－2n＋2. 9．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，nN*)个图形共有________个顶点． [答案]　n(n＋1) [解析]　当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)， 故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个． 三、解答题 10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f ′(an＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由． [解析]　f ′(x)＝x2－1，an＋1≥f ′(an＋1)， an＋1≥(an＋1)2－1. 函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，及a2≥(a1＋1)2－1得，a2≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－123－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立； 假设当n＝k(k≥1且kN*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1时，结论也成立． 由知，对任意nN*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n.≤. ∴＋＋…＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－()n1.