北京大学数学物理方法(下)课件14 分离变量法.pdf

分离变量法 本章介绍求解偏微分方程定解 问题数学物理方程的最基本方法分离变量法 求波动方程 的通解 为常数 方程可改写为 令 则 可得 其通解为 其 中 和 是任意函数 波动方程 的通解 由两个波组成 代表沿 轴 向右 播的波 当 时 波形为 而后 以恒定速率 向右 播 而保持波 形不变 则代表沿 轴 向左 播 的波 当 时 波形为 而后也以 同样 的恒定速率 向左 播 保持波形不变 单独 的 和 也是波动方程 的解 它们独立 播 互不干扰 这是因为波动方程是线性齐次 方程 具有解 的叠加性 对于定解 问题 函数 和 则应该 由定解条件确定 波动方程 的行波解 求解一维无界弦上的定解 问题 这个定解 问题 中明显缺少了边界条件 严格说来 这里的确应该明确写出无穷远条件 方程的通解 已由上例给出 现在的问题便是如何根据初始条件和确定函数 和 为 此 将通解代入初始条件 得