5.2 平面向量基本定的理及坐标表示.ppt

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示 要点梳理 1.两个向量的夹角 （1）定义 已知两个 向量a和b,作 =a， =b，则∠AOB=θ叫做向量a 与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 ,a与b同向时， 夹角θ= ;a与b反向时，夹角θ= .; (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ，则a与b垂直,记作 . 2.平面向量基本定理及坐标表示 （1）平面向量基本定理 定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数 1, 2,使a= . 其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .;(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量 正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向 量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a= ，其中 叫a在x 轴上的坐标， 叫a在y轴上的坐标. ②设 =xi+yj，则向量 的坐标（x,y)就是 ，即若 =（x,y），则A点坐标为 ,反之亦成立.（O是坐标原点）;3.平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算. （2）向量坐标的求法 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=  .;基础自测 1.（2008·辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点 A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）,且 = 2 则顶点D的坐标为 （ ） A. B. C.(3,2) D.(1,3) 解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ∴ =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D（x，y),∵ =(x,y-2), =2 , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y= .;2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（ ） A.9 B.6 C.5 D.3 解析 ∵a∥b，∴12-2x=0，∴x=6. 3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与 同向的单位向量是 （ ） A. B. C. D. 解析 ∵A（4，1），B（7，-3）， =（3， -4）， ∴与 同向的单位向量为;4.（2008·安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2，4）， =（1，3），则 等于 （ ） A.（-2，-4） B.（-3，-5） C.（3，5） D.（2，4） 解析 如图所示， （-1，-1）， 所以 （-3，-5）.;5.已知向量a=（8, x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a- 2b)∥(2a+b)，则x的值为 . 解析 a-2b=（8-2x, x-2），2a+b=(16+x,x+1), 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x, x-2）= (16+x,x+1)  8-2x= (16+x) x-2= (x+1);题型一 平面向量基本定理 【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中， M，N分别为DC，BC的中点，已知 =c， =d，试用c，d表示 ， . 直接用c、d表示 、 有难度，可换一个角度，由 、 表示 、 ，进而解方程组可求 、 .;解 方法一 设 =a， =b， 则a= =d+（ b） ① b= =c+( a) ② 将②代入①得a=d+( )  ,代入②得 ;方法二 设 =a， =b. 因M，N分别为