4 李亚普诺夫稳定性分析.ppt

解: 系统具有唯一的平衡点 取 则 于是知系统在原点处不稳定。 5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 5.3.1 稳定性分析 定理1: 系统在原点全局渐近稳定的 充要条件为方程 ,有唯一正定对称解. 证明：充分性：考虑系统 其中 令 如果 则 大范围渐近稳定。 必要性：略。 例5.7: 分析下列系统稳定性 解：令 得 则由 解上述矩阵方程，有 即得 因为 可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。 第五章 李亚普诺夫稳定性分析 5.1 几个稳定性概念 5.2 李雅普诺夫稳定性理论5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 5.1 几个稳定性概念 定义1 自治系统: 零输入作用的系统（1） 其中，x为n维状态向量，f(x,t)为n维向量函数。 定义2 受扰运动：系统状态的零输入响应. 定义3 平衡状态： 如果对于所有的状态总存在着一个状态满足 则称 为系统的平衡状态。 ，且A非奇异，则原点是系统唯一 如果 的平衡状态， 称为 向量的欧氏范数 定义4 欧氏范数： 定义5 稳定 系统(1)中， 对 ,若 使得 时 ,有 则称 为李雅普诺夫意义下稳定的。 定义6 渐近稳定： 如果 是李雅普诺夫意义稳定的， 和 并且对于 总 使得 则称 是渐近稳定的。 定义7 一致稳定（渐近稳定）： 若 的稳定性（渐近稳定）不依赖于 ，则称其 为一致稳定（渐近稳定）。 图5.1（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。 定义9 不稳定: 对于某个实数 和 ，在超球域 内始终存在状态 ，使得从该状态开始的 受扰运动要突破超球域 定义8 大范围渐进稳定: 如果 是稳定的，而且从状态空间中所有初始条件 出发的轨线都是渐进稳定的，则称这种平衡状态是 大范围渐进稳定 定义10 正定函数： 1） 存在 2） 3）当 时， 则称 是正定的（正半定的）。 如果条件3）中不等式的符号反向，则称 是负定的（负半定的）。 定义11 二次型函数： 设 为n个变量，二次型函数 定义为： 如果 ，则P为实对称阵。 例 P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过线性变换 ， 为二次型函数标准型。 例5.1 1） 正定的 2） 半正定的 3） 负定的 4） 半负定的 5） 不定的 定义11 二次型： 塞尔维斯特（Sylvester）定理： 为正定的充要条件是 的所有顺序主子行列式都是正的。如果 的所有主子行列式为非负的（其中有的为零），那么 为半正定的。 例5.2 证明下列二次型函数是正定的。 解：二次型 可以写为 , 因为 所以 5.2 李雅普诺夫第一方法 5.2.1线性系统的稳定判据 线性定常系统 平衡状态 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部 注意：讨论系统的状态稳定性（内部稳定性） 工程上注重输出稳定性 如果系统对于有界输入u引起的输出y是有界的， 系统是输出稳定。 线性定常系统 输出渐进稳定的充要条件是其传递函数： 所有极点均在s左半平面。 例5.3系统状态空间表达式： 试分析系统状态稳定性与输出稳定性 解：A的特征方程： 特征值： 系统不是渐进稳定的。 系统传递函数： 传递函数的极点 系统输出稳定。   5.3 李雅普诺夫第二方法 预备知识： 标量函数的符号性质 为n维矢量x所定义的标量函数，且在 处，恒有 。对任意x，如果： 1） ，则 为正定的。 2） ，则 为负定的。 3） ，则 为半正定的。 4） ，则 为半负定的。 5） 或 ，则 不定的 二次型标量函数 设 为n个变量，定义二次型标量函数 定义为： 如果