74 瑕积分学习目标.ppt

利用平均值 ? ＝ 69 且標準差為 ? ＝ 3，則機率 P(72 ≤ x ?)可用以下的瑕積分來表示： 此積分約為 0.158。即，此男性不矮於 6 呎的機率為 15.8%。 範例 4　求機率（解） P.7-34 第七章　積分技巧 檢查站 4 利用範例 4 的方法，隨機抽出一位年齡在 20 到 29 歲的美國男性來量身高，則他不矮於 6呎 6 吋的機率。 P.7-34 第七章　積分技巧 永續年金的現值 7.1 節介紹年利率為 r 且以連續複利的付息帳戶，在 t1 年期內的現值為 其中 c 代表連續的所得函數 (美元/年)。若年金支付額為 P 美元，則 c(t) 等於 P 且現值為 P.7-34 第七章　積分技巧 永續年金的現值 假設開始準備如教育基金之類的年金，而且可每年支領相同的金額，直到永遠 (死亡前)。因為年金是無期限地持續，所以年金年數 t1 趨近無窮大，這樣的年金稱為永久年金 (perpetual annuity) 或永續年金 (perpetuity)。此情況可以用以下的瑕積分來表示： P.7-34~7-35 第七章　積分技巧 永續年金的現值 這積分可化簡為 P.7-35 第七章　積分技巧 永續年金的現值 即瑕積分收斂到 P/r。如圖 7.20 可知，圖形 y ＝ Pe－rt 和 t 軸(當t ≥ 0) 之間的區域面積相等於年金支付額 P 除以年利率 r。 P.7-35 圖7.20 第七章　積分技巧 永續年金的現值 永續年金的現值的定義如下： 這個定義可以用來計算創設基金所需的金額，如範例 5 的教育基金。 P.7-35 第七章　積分技巧 範例 5　求現值 假設你想在自己的母校創設教育基金，此基金一年後開始提供每年 $9000 獎學金，而目前只有 $120,000 的資金可投入，卻希望每年獎學金的提供是永續的。假設年利率是 8% 且連續複利，請問$120,000 是否足以創設此教育基金？ P.7-36 第七章　積分技巧 範例 5　求現值 （解） 若要回答這個問題，首先須算出教育基金的現值。因為獎學金的提供是永續的，所以基金的執行時間是無窮大。此基金為一永續年金，其中 P ＝ 9000 和 r ＝ 0.08，於是現值為 即創設此教育基金所需的金額為 $112,500。所以，答案是肯定的，你的錢足夠創設此教育基金。 P.7-36 第七章　積分技巧 檢查站 5 在範例 5 中，自己的錢是否足夠創設每年付 $10,000 獎學金的教育基金？請說明理由。 P.7-36 第七章　積分技巧 總結 (7.4 節) 寫出不同類型的瑕積分，參考範例 1、2 及 3。 寫出「收斂」的定義並將其應用在瑕積分，參考範例 2 和 3。 寫出「發散」的定義並將其應用在瑕積分，參考範例 1。 描述在現實生活中如何利用瑕積分來求得某機率值 (範例 4)。 描述在現實生活中如何利用瑕積分來求得年金的現值 (範例 5)。 P.7-36 第七章　積分技巧 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 微積分精華版[第九版] 瑕積分 7.4 7.4 瑕積分 學習目標 辨識瑕積分。 計算積分上下限為無窮大的瑕積分。 利用瑕積分求解現實生活的問題。 計算永續年金的現值。 P.7-30 第七章　積分技巧 瑕積分 定積分 的定義要求區間 [a, b] 為有界的，且根據微積分基本定理的計算定積分存在要求 f 在 [a, b] 為連續。但是有些積分並不滿足這些條件，因為這些積分有以下的情況： 1. 積分的上下限至少有一個為無窮大。 2. f 在區間 [a, b] 存在無窮大的不連續點。 如果有上述任一種情況的積分，則稱為瑕積分 (improper integral)。 第七章　積分技巧 P.7-30 瑕積分 第七章　積分技巧 P.7-30 圖7.13 瑕積分 譬如，積分 　同理，積分 皆為瑕積分，因為它們的積分上限或下限為無窮，如圖 7.14 所示。 第七章　積分技巧 P.7-30 瑕積分 第七章　積分技巧 P.7-30 圖7.14 瑕積分 同理，積分 也為瑕積分，因為它們的積分函數有無窮大的不連續點 (infinite discontinuity)，即在積分區間的某點積分函數值趨近於無窮大，但是，本書中不討論此類積分。 第七章　積分技巧 P.7-30 積分上下限為無窮大的瑕積分 為了要了解如何計算這類的瑕積分，先考慮如圖 7.15 的積分。當b 值為大於 1 的正數 (不管多大)，它都是個定積分，其值為 P.7-31 第七章　積分技巧 積分上下限為無窮大的瑕積分 第七章　積分技巧 P.7-31 積分上下限為無窮大的瑕積分 下表列出不同 b 值所對應的定積分值 從表格可知，