第3回目 演习问题の解答.doc

電磁気学演習　月日 学籍番号 名前 提出した日付 問題 図1-2に１クーロンの電荷をr=∞からr=r1まで運ぶのにかかる仕事が電位である。の式を導出しなさい。 1クーロンの電荷に発生する力は電界である。電界に逆らって、r=∞からr=r1まで運ぶのにかかる仕事は、力×距離より 　　 　　　　　　　　　 図1-1　　　　　　　　　　　　　　　　 図1-2 ひとつの導体が電荷qに帯電し孤立している場合を考える。問題１の結果より、電位はqに比例するので、電位をφ＝pqと仮定する。電位は1クーロンの電荷を運ぶのにかかる仕事であり、qクーロンの電荷に対して小さい電荷dqを近づけようと電位のdqに比例した仕事du＝φdq＝pq dqが必要となる。 電荷を0の状態から電荷Qの状態にするのに必要な仕事量Uを求めなさい。 小さい電荷を運ぶのに必要な仕事量はdu＝φdq＝pq dqと与えられている。電荷を0からQまでためるためには、仕事量の総和を計算すればよい。 さらに、電荷Qの状態の電位を(＝pQとして、Uを(とQのみを用いて書きなさい。 （ア）の結果に(＝pQを代入すると となる。 最終的に発生する電位と電荷を掛けて２で割った値が、静電荷を発生させるために必要なエネルギーになる。→コンデンサの計算で使うので覚えておくこと。 二つの板形状の金属板を平行に配置した。それぞれの板の面積をSとし、それぞれの板に電荷(Qの電荷を与えた。また板間の距離をtとした。 板の中間に点Pがある。この位置での板に対して垂直方向の電界の大きさを求めよ。 まず金属板の表面に一様に電荷が分布する（導体内には電荷が存在しない）表面の電荷密度は となる。 次に、電極付近の電界の分布を考える。電荷が一様に分布する場合、電極に水平な電界は存在しない。したがって、垂直方向の電界を考えればよい。ある閉曲面（点線部）を考えた場合、そこから出る電束密度の総和は、内部にある電荷量と一致する。閉曲面の面積をとすると より、が得られる。 より、電界は 同様に電束密度Dの大きさを求めよ。 (ア)より、。 同様に、板に対して水平方向の電界の大きさを求めよ。 板状に一様に電荷が分布しているため、板に対して水平方向の電界は相殺しあって0となる。 二つの板の間の電位差を求めよ。 電界の値は(ア)より、。 この電界に逆らって、tの距離だけ進むのに必要な仕事量を求めると が得られる。 Q=CVより、静電容量を求めよ。 Q=CVと(エ)の結果より、を得る。 それぞれの電極に(Qの電荷、φ1、φ2の電位が生じているとする。 コンデンサに生じる静電界のエネルギーUを求めよ。（問２より） 問2の結果より、左の電極にQの電荷をためるのに必要となるエネルギー量は 同様に右の電極にQの電荷をためるのに必要なエネルギー量は したがって、 電位差φ1－φ2＝Vより、UをQとVを使って表しなさい。 電位差φ1－φ2＝Vを用いると （エ）の結果より、UをCとVを使って表しなさい 同様にUをCとQを使って表しなさい。 となる。（ク）の結果より、同じ電圧が加えられた場合、コンデンサに蓄積されるエネルギー量はCに比例する。したがって、Cは静電容量と呼ばれる。または、（オ）の結果より、電極の面積が大きく、その距離が近く、また誘電率が大きいほど静電容量Cは大きくなることがわかる。 真空中の誘電体はε0であり、図4-1のように閉曲面Sで囲まれた領域内にQの電荷があると、 と与えられた。 以下では、図4-2の誘電体の中を考える。真電荷Qを置くと、誘電体中では分極による新たな電荷QPが発生する。したがって、閉局面Sで囲まれた領域内に存在する電荷Qf=Q+QPとなる。 真空中のガウスの法則を適用し、の値を求めなさい。 （ア）で求められる式にの関係を適用して、電界E、分極P、真電荷Qの関係式を導出しなさい。 より 電束密度をと定義し、真電荷Qとの関係式を導出しなさい。 （イ）よりと変形できる。したがって、 電界Eと分極Pは比例の関係にある。つまりは強い電界Eが与えられると、分極Pも大きくなる。したがって、（aは比例定数：正確にはテンソル） ただし、数学的簡単化のためとおき、とする。（は分極率もしくは電気感受率と呼ばれる） DとEの関係をとを使って表しなさい。 誘電率を求めよ。 （エ）より、誘電率は ここで、を比誘電率と呼ぶ。 図4-1真空中の電荷と電界 図4-2　誘電体中の電荷と電界 二つの板形状の金属板を平行に配置した。それぞれの板の面積をSとし、それぞれの板に電荷(Qの電荷を与えた。また板間の距離をtとした。この板の間に誘電率εの誘電体を挿入した。以下の問いに答えなさい。 電束密度Dの大きさを求めなさい。 問題３と