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[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-4第二讲:2.圆的参数方程 应用1
第二讲 参数方程 2.圆的参数方程的应用 * * * * 复习(1)在直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数, 并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数。 (2) 相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。 x2+y2=r2 2、圆的参数方程 (a,b) 5 -5 -5 5 o 虎林高级中学 由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程,一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形式,形式不同的参数方程,它们表示 的曲线可以是相同的,另外,在建立曲线的参数参数时,要注明参数及参数的取值范围。 x M P A y O 解:设M的坐标为(x,y), ∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ) ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。 由中点公式得:点M的轨迹方程为 x =3+cosθ y =sinθ x =2cosθ y =2sinθ 圆x2+y2=4 的参数方程为 例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 解: (方法2)设M的坐标为(x,y), ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-6,2y) ∴(2x-6)2+(2y)2=4 即 M的轨迹方程为(x-3)2+y2=1 ∵点P在圆x2+y2=4上 x M P A y O 例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 思考: 这里定点Q在圆O外,你能判断这个轨迹表示什么曲线吗?如果定点Q在圆O上,轨迹是什么?如果定点Q在圆O内,轨迹是什么? 解: 设Q的坐标为(a,0), 的圆,化为标准方程为 (2,-2) 1 化为参数方程为 把圆方程 0 1 4 2 ) 2 ( 2 2 = + - + + y x y x 例2、已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点,求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y的最值. 解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1,用参数方程表示为 由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ) (1) x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为14+2 ,最小值为14- 2 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin(θ + ) ∴ x+y的最大值为5+ ,最小值为5 - 。 A、 36 B、 6 C、 26 D、 25 ( ) A 小 结: 1、圆的参数方程 2、求轨迹方程的三种方法:⑴相关点问题(代入法); ⑵参数法;⑶定义法 3、圆的参数方程的应用(最值) 作业:26页,3
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