[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-4第二讲：2.圆的参数方程 应用1.ppt

第二讲 参数方程 2.圆的参数方程的应用 * * * * 复习（1）在直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数， 并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。 （2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 x2+y2=r2 2、圆的参数方程 (a,b) 5 -5 -5 5 o 虎林高级中学 由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。 x M P A y O 解:设M的坐标为(x,y), ∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ) ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。 由中点公式得:点M的轨迹方程为 x =3+cosθ y =sinθ x =2cosθ y =2sinθ 圆x2+y2=4 的参数方程为 例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 解: (方法2)设M的坐标为(x,y), ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-6,2y) ∴(2x-6)2+(2y)2=4 即 M的轨迹方程为(x-3)2+y2=1 ∵点P在圆x2+y2=4上 x M P A y O 例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 思考： 这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹是什么？ 解: 设Q的坐标为(a,0), 的圆，化为标准方程为 （2，-2） 1 化为参数方程为 把圆方程 0 1 4 2 ) 2 ( 2 2 = + - + + y x y x 例2、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值. 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ） （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（θ + ） ∴ x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。 A、 36 B、 6 C、 26 D、 25 （ ） A 小 结: 1、圆的参数方程 2、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点问题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 3、圆的参数方程的应用（最值） 作业：26页,3