[名校联盟]湖南省桃江四中高一数学人教A版必修5《1.1.2余弦定理(一)》课件.ppt

问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？ * 复习回顾 正弦定理： 可以解决两类有关三角形的问题? （1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA 变形： 千岛湖 3.4km 6km 120° ） 情景问题 岛屿B 岛屿A 岛屿C ? 千岛湖 千岛湖 情景问题 3.4km 6km 120° ） 岛屿B 岛屿A 岛屿C ? 3.4km 6km 120° A B C 在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求 AC 用正弦定理能否直接求出 AC？ ） C B A a b c A b c A c b A c b b c A A c b C B a A b c A b c C B A a b c c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2 看一看想一想 直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动 勾股定理仍成立吗？ c2 = a2+b2 是寻找解题思路的最佳途径 c= A c b C B a ∣AB∣ c2= ∣AB∣2 = AB AB AB= AC+ CB AB AB= (AC+ CB) (AC+ CB) 算一算试试！ 联想 C B A c a b ﹚ ﹚ 探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c. C B A c a b ﹚ 余弦定理 探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c. 对余弦定理，还有其他证明方法吗? b A a c C B 证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为： x y 解析法 证明 A B C a b c D 当角C为锐角时 几何法 b A a c C B D 当角C为钝角时 C B A a b c 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。 证明 证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,  作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA A B C c b a 同理有： 当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。 D 余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC 你能用文字说明吗？ C B A a b c 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 归纳 变一变乐在其中 C B A a b c a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC b2+c2 - a2 2bc cosA= c2+a2 - b2 2ca cosB= a2+b2 - c2 2ab cosC= 变形 归纳 想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？ cosC= a2+b2-c2 2ab C=90° a2+b2=c2 cosA= b2+c2-a2 2bc cosB= c2+a2-b2 2ca cosA= — cos B= — a c b c 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 问题2：公式的结构特征怎样？ （1）轮换对称，简洁优美; 剖 析 定 理 （2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想） 剖析 思考： 已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？ 如：已知b=4,c= ,C=60°求边a. （3）已知a、b、c（三边），可以求什么？ 剖 析 定 理 剖析 3.4km 6km 120° ） A B C 在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km， ∠B=120o，求 AC 解决实际问题 解：由余弦定理得 答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km. 剖 析 定 理 （4）能否把式子 转化为角的关系式？ 分析： 剖析 （1）已知三边 求三个角 SSS 问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？ （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. SAS 剖 析 定 理 剖析 练习1. C 练习2. 练习3. C 会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？ 角边角