§1.2应用举例 第1课时 距离、高度、角度问题(人教A必修五).ppt

第1课时　距离、高度、角度问题 1.基本概念 (1)在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，视线在水平线 的角称为 ． (2)把指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角叫方位角． 2.距离问题 (1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题． 这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用 就可解决问题． (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题． 首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用 求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题． 3.高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物 到一个 的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 4.角度问题 测量角度就是在三角形内利用 求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角． 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是(　　) A．αβ　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：如图3，在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角，根据水平线平行，得α＝β. 答案：B 5．如图7所示，隔河可以看见目标A，B，但不能到达，在岸边选择相距 km的C，D两点，并测得∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离． [例1]　一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离． [点评]　问题的求解涉及到两个三角形，AD边在△ACD中，先看△ACD中的哪些边、角是已知的，或是易求的，由题设知△ACD恰好是等腰直角三角形，于是只需求出一边AC即可，而AC在△ABC中通过正弦定理可得． 迁移变式1　海中一小岛，周围3.8 n mile内有暗礁．货轮由西向东航行，测得这岛在北偏东75°，航行8 n mile以后，测得这岛在北偏东60°.如果这艘货轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？ 解：如图9所示，过A点向货轮的航线BD作垂线AD，在△ABC中，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BCA＝90°＋60°＝150°，∴∠BAC＝180°－150°－15°＝15°＝∠ABC，∠ACD＝180°－150°＝30°，∴AC＝BC＝8 n mile，AD＝ACsin∠ACD＝8×sin30°＝4(n mile)3.8 n mile，∴如果这艘货轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险． [例2]　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度． [解]　依题意画出直观图(如图10所示)．设某人在C点，AB为塔高，他沿CD前进，且CD＝40 m．塔高AB为定值，要使仰角∠AEB最大，则BE必最小，故BE的长为点B到CD的距离．要求AB，必须先求BE，由于△DBE是直角三角形，可在△DBC中先求出DB或BC，这样BE可求，则问题可解． 在△BDC中，CD＝40 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°. [点评]　本题既有方向角，又有仰角，要注意运用空间想象作图，作出的示意图应是立体图，这是本题求解的一个关键；破解“沿途测得塔的最大仰角”是本题求解的第二个关键．已知塔与塔所在的平面是垂直的，这样就有了直角三角形，不但为求塔的高度提供了三角形模型，而且还顺利地找到 了“最大的仰角”．在解三角形的实际应用问题中，弄清楚与测量有关的概念，在正确作出示意图的同时，还要注意有关简单的涉及空间图形的问题． 迁移变式2　甲、乙两塔相距60 m，从乙塔塔底望甲塔塔顶仰角为45°，从甲塔塔顶望乙塔塔顶俯角为30°，则甲、乙两塔高度分别为________． [例3]　甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？ [分析]　乙船也在运动，无法直接测出A船应走路线的方位角，只能计算出其方位角，构造三角形ABC解之． [例4]　(2009·宁夏、海南高考)为了测量两山顶 M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量．A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图14)．飞机能够测量的数据有俯角和A、B