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§7 向量应用举例 户县电厂中学 主讲教师：田旭东 一.点到直线的距离 2、点到直线的距离 若点M（x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为 例1. 求点P（1,2）到直线l:2x+y+1=0的距离 例2. 已知两条直线 l1:mx-(2m-3)y-1=0 l2:(2m+5)x+(m+6)y-7=0 如果l1∥l2，求m的值 问题提出 1.用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化. 二.平面几何中的向量方法 2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结. 探究（一）：推断线段长度关系 思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ A B C D 思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？ |a|=2，|b|=1， |a-b|=2. A B C D a b 思考6：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？ 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍. 思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ 探究（二）：推断直线位置关系 思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？ 交于一点 思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？ A B C D E F P 证明PC⊥AB. c·(a－b)＝0. A B C D E F P a b c 思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结论？ a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0. 思考5：如何利用这两个结论: a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0 推出c·(a－b)＝0？ 思考6：你能用其它方法证明三角形的三条高线交于一点吗？ A B C D E F P 探究（三）：计算夹角的大小 思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，你认为∠A的大小是否为定值？ A B C D E A B C D E a b cosA= a·b ｜a｜｜b｜ (｜a｜｜b｜≠0) A B C D E a b 思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？ a·b = （a2＋b2） 思考5：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论: a·b = (a2＋b2 ),cosA等于多少？ A B C D E a b 理论迁移 例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC相交于点M、N，试推断AM、MN、NC的长度具有什么关系，并证明你的结论. A B C D E F M N 结论:AM=MN=NC 例2 如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF与GH是否平行. A B C D E F P G H 结论:EF∥GH 三.向量在物理中的运用 例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ F2 F1 F G 解： 不妨设 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道 当 由0o到180o逐渐变大时， 由0o到90o逐渐变大， 的值由大逐渐变小， 因此 由小逐渐变大， 即F1, F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力. 一、例题分析： 例2.一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1 000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60o，并且A,C两地相距2 000km,求飞机从B地到C地的位移. 东 南 北 西 A B C 解： 如图，设A在东西基线和南北基线的交点处. 由已知得∠BAC=60o， 过点B作东西基线的垂线，交AC于D， D 则△ABD为正三角形. 所以BD=CD=1 000km， ∠CBD=∠BCD= 所以∠ABC=90o， 答:飞机从B地到C地的位移大小是 方向是南偏西30o. E 例3.已知力F与水平方向的夹角为30o(斜向上),大小为50N,一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的