§8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ).ppt

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b,只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩! 点、线、面之间的位置关系 空间几何体 空间几何体的结构 空间几何体的体积、表面积 柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法 1.线线、线面、面面间的平行关系 2.线线、线面、面面间的垂直关系 计算公式 面面角 线面角 线线角 角的范围 图形 空间角 例1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F. （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小. D A B C E P F B D P E G 解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1. (1)证明：连结AC, AC交BD于点G, 连结EG, A C B P E 解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1. (1)证明： A C 方法二： D B P E 解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1. (1)证明： A C 方法三： D B P E F 解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1. A C D 又因为二面角C－PB－D的平面角θ是锐角, 所以二面角C－PB－D 的大小是 平面CPB法向量为 平面DPB法向量为 S O D A B C P E x y z 例3 B B B 主页 山东金榜苑文化传媒集团 步步高大一轮复习讲义 立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直 空间向量与 立体几何 空间向量 及其运算 立体几何中 的向量方法 空间向量的 加减运算 空间向量的 数乘运算 空间向量的 数量积运算 空间向量的 坐标运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 平行与垂直条件 向量夹角及距离 直线的方向向量 与平面的法向量 求空间角 求空间距离 线线角 线面角 面面角 忆 一 忆 知 识 要 点 1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量____＝ta，则此向量方程叫做直线 l 的参数方程．向量a称为该直线的方向向量． (2)对空间任一确定的点O,点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t,满足等式__________________, 叫做空间直线的向量参数方程． 忆 一 忆 知 识 要 点 2. 用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2, 则l1∥l2 (或l1与l2重合)?v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α? 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 忆 一 忆 知 识 要 点 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u, 则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2， 则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. C C 平行 ①②③④ 5 4 3 2 1 答案 题号 利用空间向量证明平行问题 【例1】如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中, M, N分别是C1C, B1C1的中点. 求证：MN∥平面A1BD. 证明 证明:方法二: 如图所示, 以D为原点, DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1， 用向量证明线面平行的方法有： (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示； (4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN 平面A1BD. 如