主元分析（PCA）理论分析及应用.PDF

主元分析(PCA)理论分析及应用 什么是PCA? PCA 是Principal component analysis 的缩写，中文翻译为主元分析。它是一种对数据进行分析的技术， 最重要的应用是对原有数据进行简化。正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主 要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。它 的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合。因此应用极其广泛，从神经科学到计算机 图形学都有它的用武之地。被誉为应用线形代数最价值的结果之一。 在以下的章节中，不仅有对PCA 的比较直观的解释，同时也配有较为深入的分析。首先将从一个简单 的例子开始说明PCA 应用的场合以及想法的由来，进行一个比较直观的解释；然后加入数学的严格推导， 引入线形代数，进行问题的求解。随后将揭示PCA 与SVD(Singular Value Decomposition)之间的联系以及 如何将之应用于真实世界。最后将分析PCA 理论模型的假设条件以及针对这些条件可能进行的改进。 一个简单的模型 在实验科学中常遇到的情况是，使用大量的变量代表可能变化的因素，例如光谱、电压、速度等等。 但是由于实验环境和观测手段的限制，实验数据往往变得极其的复杂、混乱和冗余的。如何对数据进行分 析，取得隐藏在数据背后的变量关系，是一个很困难的问题。在神经科学、气象学、海洋学等等学科实验 中，假设的变量个数可能非常之多，但是真正的影响因素以及它们之间的关系可能又是非常之简单的。 下面的模型取自一个物理学中的实验。它看上去比较简单，但足以说明问题。如图表1所示。这是一个 理想弹簧运动规律的测定实验。假设球是连接在一个无质量无摩擦的弹簧之上，从平衡位置沿x 轴拉开一 定的距离然后释放。 图表 1 对于一个具有先验知识的实验者来说，这个实验是非常容易的。球的运动只是在x 轴向上发生，只需 要记录下x 轴向上的运动序列并加以分析即可。但是，在真实世界中，对于第一次实验的探索者来说（这 也是实验科学中最常遇到的一种情况），是不可能进行这样的假设的。那么，一般来说，必须记录下球的三 维位置(x0 ,y 0 , z 0 ) 。这一点可以通过在不同角度放置三个摄像机实现（如图所示），假设以200Hz 的频率 拍摄画面，就可以得到球在空间中的运动序列。但是，由于实验的限制，这三台摄像机的角度可能比较任 意，并不是正交的。事实上，在真实世界中也并没有所谓的{x ,y , z }轴，每个摄像机记录下的都是一幅二 维的图像，有其自己的空间坐标系，球的空间位置是由一组二维坐标记录的： x y x y x y 。 [( A , A ), ( B , B ), ( C , C )] 经过实验，系统产生了几分钟内球的位置序列。怎样从这些数据中得到球是沿着某个轴运动的规律呢？怎 样将实验数据中的冗余变量剔除，化归到这个潜在的轴上呢？ 这是一个真实的实验场景，数据的噪音是必须面对的因素。在这个实验中噪音可能来自空气、摩擦、 摄像机的误差以及非理想化的弹簧等等。噪音使数据变得混乱，掩盖了变量间的真实关系。如何去除噪音 是实验者每天所要面对的巨大考验。 上面提出的两个问题就是 PCA 方法的目标。PCA 主元分析方法是解决此类问题的一个有力的武器。 下文将结合以上的例子提出解决方案，逐步叙述PCA 方法的思想和求解过程。 线形代数：基变换 从线形代数的角度来看，PCA 的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间。而新的基要能尽 量揭示原有的数据间的关系。在这个例子中，沿着某 轴上的运动是最重要的。这个维度即最重要的 “主 x 元 ” 。 PCA 的 目 标 就 是 找 到 这 样 的 “ 主 元 ” ， 最 大 程 度 的 去 除 冗 余 和噪音的干扰。 A. 标准正交基 为了引入推导，需要将上文的数据进行明确的定义。在上面描述的实验过程中，在每一个采样时间点 上，每个摄像机记录了一组二维坐标(xA ,y A ) ，综合三台摄像机数据，在每一个时间点上得到的位置数据 对应于一个六维列向量。