2-3正弦余弦定理.doc

§2(3 正弦定理與餘弦定理 (甲)三角形面積 (1)邊角關係(在△ABC中，通常以a,b,c分別表(A,(B,(C的對邊長。(邊的關係：a(0,b(0,c(0，且|b(c|(a(b+c(角的關係：0((A,B,C(180(，且A+B+C=180((2)三角形的面積公式： 國中△ABC面積= (底(高，以底與高的長度表示面積但是當邊上的『高』不容易求出來的時候(如有障礙物)，我們可以利用三角函數邊角的關係式間接求出高，於是△ABC的面積=(a(bsinC    事實上圖中，(C是銳角，當(C是直角或是鈍角時 △ABC，邊上的高仍然是 b(sinC ∴△ABC面積=(a(bsinC 同理由對稱性得△ABC的面積公式=(a(b(sinC= (b(c(sinA= (c(a(sinB 例子：已知正△ABC每邊的長是a，求其面積。 結論：△面積記憶法(利用三角函數定義，由△=(底(高，導出兩邊夾角求面積，即△=(a(b(sinC= (b(c(sinA= (c(a(sinB (兩邊夾一角) 四邊形ABCD，設(為對角線與的一個交角，求證：此四邊形的面積為 (sin(。 設(ABC為直角三角形，ACEF是以為一邊向外作出的正方形，BCDG是以為一邊向外作出的正方形，若AC=5、AB=4、BC=3，試求(a)cos((DCE) (b)(DCE的面積。Ans：(a) (b)6 四邊形兩對角線為12與5，若兩對角線的夾角為(1,(2，且(1=2(2則其面積為__________。Ans：15 已知一三角形ABC的二邊AC=5，AB=8，cosA=，(ABC的面積為 。 Ans：12 ()正弦定理國中幾何曾經學過「大邊對大角」這個性質，但這個性質只說角大則邊大，邊大則角大，這種說法似乎只是一種對於邊角關係的「定性描述」，那麼邊角之間有沒有「定量的描述」呢?我們用以下的定理來回答這個問題： 正弦定理：在(ABC中，以a,b,c表示(A，(B，(C， = ==2R，R為(ABC外接圓的半徑。 證明： 由前面三角形的面積公式：S(ABC=(a(b(sinC= (b(c(sinA= (c(a(sinB 等號兩邊同除abc，可得 = = ( = =。 但是 = ==？我們由以下的證明來說明：我們將(ABC分成直角、銳角、鈍角三種情形來討論，如下圖所示： (1)當(A=90( (2)當(A90( (3)當(A90((1)(A=90( ( = a==外接圓直徑=2R ( = ==2R(2)(A為銳角： 過B做圓O的直徑，因為(A與(D對同弧()，因此(A=(D。 考慮直角三角形BCD，由銳角三角形的定義可知=sinD=sinA ( = BD=外接圓直徑=2R ( = ==2R。(3)(A為鈍角： 過B做圓O的直徑，因為(A+(D=180(，所以sin(D=sin(180(((A)=sinA 考慮直角三角形BCD，由銳角三角形的定義可知=sinD=sinA ( = BD=外接圓直徑=2R ( = ==2R。結論：正弦定理的用法 正弦定理 = = =2R的轉換(以R為媒介)(a)比例型：___________________=______________________(b)邊化角：a=___________，b=____________，c=______________(c)角化邊：sinA=________，sinB=________，sinC=____________ (ABC中 ，a,b,c(A，(B，(C(1)若(b+c):(c+a):(a+b)=5:6:7，sinA:sinB:sinC。(2)(B=55(，(C=65(，a=10Ans：(1)4:3:2 (2) 設圓內接四邊形ABCD中30°，45°，2，＝ 。Ans：2 利用三角形的面積公式與正弦定理，證明：(ABC的面積為。(R為外接圓半徑) 在下列各條件下，求△ABC的外接圓半徑R。(1)(B=70(，(C=80(，a=3。(2)b=2，cosB= Ans：(1)R=3(2)R=2 △ABC中，(A=60(，(B=75(，=+1，求(1)之長(2)之長Ans：(1)=(2)=2 (sin75(=) 以a,b,c分別表示△ABC之三邊,,的長，試在下列各條件下，求sinA：sinB：sinC。(已知sin75(= )(1)(A=30(,(B=45( (2)(