《方田》 割圆术.ppt

鄧 廣 義 元 朗 商 會 中 學 圓面積的証明 ?r2 傳統教具 (/material/show/id/109) (/material/show/id/550) GeoGebra Tube Sato Moshun (17世紀) 達文西(15世紀) 歷史來由 古人是如何發現圓形的方程式呢？ 舊約聖經《列王紀》提到所羅門王建造宮殿時： 「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、 高五肘、徑十肘、圍三十肘。」[王上7:23] 《周髀算經》注中，趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。 圓周率 ? Archimedes of Syracuse 287?BC –?212?BC 古希臘哲學家、數學家 在《圓的測量》中證明了圓面積等於一個以其圓周長及半徑作為兩個直角邊的直角三角形面積。 阿基米德 A r K r C C A = K = ?rC = ?r(2?r) = ?r2 用反證法排除以下兩種情形： AK 及 AK 剩下惟一可能就是 A = K 情形1 (AK) 內接正方形於圓內，平分弧直至… 弓形面積總和 A – K A – 多邊形面積 A – K 多邊形面積 K 情形1 (AK) 但因 h r 及 nb C 所以 多邊形面積 = ?h(nb) ?rC = K [矛盾！] r h b 情形2 (AK) 作外切正方形，加上新切綫直至… 外切多邊形面積與圓之間截得的面積總和 K – A 多邊形面積 – A K – A 多邊形面積 K 情形2 (AK) 但因 nb’ C 所以 多邊形面積 = ?r(nb’) ?rC = K [矛盾！] r b’ A r K r C C A = K = ?rC = ?r(2?r) = ?r2 因而，圓面積 A 既不大於又不小於 K，所以 A = K。 結論 X.1 Method of Exhaustion XII.10 Volume(cone)=1/3Volume(cylinder) XII.2 Area(circle) ? r2 對照幾何原本 以上是公元前3世紀之前古希臘人的證明 接下來我們看看古代的中國… 九章算術 ? 劉徽注 成書於公元1世紀 劉徽(公元三世紀) [31]今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？ [32]又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問為田幾何？ (圓田)術曰：半周半徑相乘得積步。 九章算術卷一《方田》 割圓術(6觚) r ?C6 割圓術(12觚) r ?C12 割圓術(24觚) r ?C24 割圓術(誤差) r ?C6 r ?C12 r ?C24 當割圓細密至極到觚面與圓周重合時，餘徑退縮為一點，此時誤差為零。 餘徑 割圓術(結論) 阿基米德 劉徽 公元前三世紀 公元三世紀 歐氏幾何的演繹 化曲為直，出入相補 窮盡法，雙歸謬法 在有限的步驟內完成 無窮分割 典型的極限方法 兩種證明方法的比較 T. L. Heath, The Works of Archimedes , Cambridge University Press, 1897 T. L. Heath 著，朱恩寬、李文鉻等譯，《阿基米德全集》，陝西科學技術出版社, 1998 吳文俊主編，《中國數學史大系》第3卷，北京師範大學出版社, 1998 李繼閔，《 九章算術及其劉徽注研究》，九章出版社, 1992 主要參考資料 * *