从一个问题说起：无穷.doc

從一個問題說起：無窮 西松高中 蘇惠玉老師 在現行高中數學教材中，高一課本有一章內容為數列與級數。其中級數單元的教學目標之一，即是無窮等比級數的求和問題。一般教師在此單元通常會以季諾 (Zeno of Elea, 490BC~430 BC) 的「阿基里斯悖論」(Achilles paradox)，1當引起動機的例子，而在南一版本的教科書中，編者更提到阿基米德 (Archimedes of Syracuse, 287? BC ~ 212 BC) 求拋物線弓形面積，這似乎也是一個合適的引起學習興趣的切入點。但是，為何季諾要提出這個悖論？他的用意為何？再者，阿基米德在證明拋物線弓形面積為同底同頂點三角形的時，為何選擇用兩次歸謬的證法，而不像我們現在一樣直接將無窮等比級數求和就好？這些問題課本並沒有提供我們解答。如果我們能夠還原歷史真相，盡量貼近這些古代學者的歷史脈絡，對於「無窮」在數學發展過程中所引發的問題，將會有更清楚的瞭解與體會，或者藉由對這些這些歷史發展脈絡的瞭解，可以發現另一種數學學習的樂趣，同時，還能幫助我們多少瞭解學生在學習無窮概念時，所隱含的認知障礙。 在無窮等比級數求和這個單元中，一定會有一些幾何圖形的等比變化，然後再求面積或周長的問題。例如，圖一就是一個例子。在此單元的教學中所提供的問題，為了配合高一的程度，都是直線形如三角形或矩形的問題。然而，是幾何圖形所成的等比級數求和問題，藉著引入阿基米德求拋物線弓形面積這一個歷史問題時，Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction. 他在定義平行線時，小心的使用「produced indefinitely」來說明直線的延長，不像我們現在大辣辣的說「直線無限延長」，他選擇用「動作」來小心暗示，就是說可以隨你高興地將直線延長。他的這種小心翼翼的處理方式，在《幾何原本》中處處可見，例如廣為大家所知與討論的第五設準： That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. 還有一個有趣的例子，即是《幾何原本》第九卷的命題20「質數比任意給定的還要多」： Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. 這個命題的內容，就是我們所熟知的「質數無限多」的命題，但是歐幾里得同樣的小心避免使用「無限多」這樣的字眼，所以他用這樣的形式來敘述命題，而這樣的敘述形式也決定了證明的方式，因為要證明質數比給定的還要多，所以他就先給定幾個質數A、B、C，然後證明質數比A、B、C還要多就可以了（即證明ABC＋1也是質數）。 希臘數學家們在處理牽涉到無窮的相關問題時，有一個問題是無法用謹慎的文字使用來迴避的，即是曲線形求面積的問題，例如圓的面積這個如此簡單卻又相當重要的問題。如果要知道曲線形的面積，一定會牽涉到無窮分割，然而又沒辦法說得清楚時，只好再次迴避，另外使用在邏輯上沒有問題的形式來表達與證明。例如在《幾何原本》的第十二卷命題2： Circles are to one another as the squares on their diameters. 歐幾里得在此只指出了圓面積與直徑所成的正方形面積成正比，並沒有給出圓面積公式。同時，他選擇使用在邏輯上不會出錯的「窮竭法」來證明這個命題。簡單地說，因為要證明兩圓的面積比等於直徑的平方比，他用了兩次歸謬證法，證明大於與小於時都會矛盾，所以就可以得到結論即兩個比相等是對的。這樣的證明形式，幾乎是希臘及後來的亞歷山卓時期證明曲線形面積時的範本。 再舉個例子來說明吧！阿基米德在證明「圓的面積等於以它的半徑與圓周為兩股所成的直角三角形面積」時，他所使用的證明策略也是歐幾里得所使用的「窮竭法」。阿基米德先假設圓面積與三角形面積K不相等，所以不是大於就是小於K。 在圓面積大於K的情況中，他從圓內接四邊形開始分割，因為內接多邊形的面積小於圓