几 何 变 换 ——初中数学教师学科素养之四 南昌市教研室 万智儒 一 .doc

几 何 变 换 ——初中数学教师学科素养之四 南昌市教研室 万智儒 一、辅助元素法 通过添设辅助元素（辅助线、辅助变量、辅助函数等）以使数学问题化或易于求解的方法，叫做辅助元素法，它与待定系数法并列为数学题的两种最重要的方法。 前面讨论的换元法，就是常见的辅助元素法之一，它是通过设置辅助变量来求解代数、三角函数问题的；在解题过程中，还经常用引入中间变量（或称参数），它们通常与消元法结合运用，这里主要介绍其他几种添设辅助元素解题方法。 添设辅助线 灵活而合理的添作辅助线,以使问题获得简洁的解法,是平面几何解题中的重要技巧,通常可以通过对问题的分析,从已知条件与求证结认论之间的联系出发去寻求合理的辅助线,添作辅助线也是初中几何教学的重点与难点。 过几何图形中的一些特殊点，如： 1．顶点； 2．中点；３．垂线（或高）；４．各种交点；５．平行线（平移）； ６．截长（截取）补短（延长）7．圆心；8．切点；9．两圆相交的公共弦； 10．旋转；11．对称。…… 下面我们再举一部分例题 例1． 已知， AD是的中线，AE是的中线，，求证： 例2．在中,D为BC上的一点,,E为AD上一点,,连B,E,并延长交AC于F, 求: (用a ,b表示). 例3．已知在圆O上，顺次有A，B，C，D，，垂足为M， 求证：AM=CD+CM （证明一条线段等于两条线段的和，可通过“延长”或“截取”，转化为证明两条线段相等） 例4．在中，AP是的平分线，D，E分别是AB，BC边上的点，且BD=CE，又G，H分别BC，DE的中点。求证：HG//AP 例5．圆O交圆于A，B，PE为 圆O直径，PA 的延长线交圆于C，PB交圆于D，CD的延长线交PE于F。求证： （二）构造法 “构造”是建设、制作的意思，在数解题过程中，有许多问题在用一般的思路分析受阻，用通常的方法解决有困难时，可在原有的条件和结论的基础上进行引申，拓展、联想和类比，在已知和未知间搭成一座桥梁，即通过学习构造一定的数学模型（或背景）来完成解题这种方法称为构造法。 现主要介绍构造几何图形、构造方程、构造函数三个问题 1.构造几何图形。不仅是几何学,就是代数问题,三角问题都可以利用构造几何图形来解决。例6．已知， 求证： 例7． P为正方形ABCD内一点， ， 求：（1）的度数；（2）正方形的边长；（3）求PD的长。 2．构造方程。通过作出问题中所涉及的元素的辅助方程，并利用方程或方程组的理论以及诸如判别式；韦达定理知识帮助解题，可以与“方程思想”及“判别式”联系。 例8．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且，求的值。 3．构造函数。从数学问题本身的特点出发，构造辅助函数，再利用函数的特征、性质等来进求解，对于有关方程、不等式、函数最大最小值等问题，均可构造函数来解决，可以与“方程函数思想”、“解析法”相联系。 例9．在直角坐标中有四个点， 求 ：当四边形ABCD的周长最小时的值。 二、等积变换 几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要，故有关面积计算，应用面积法证题是平面几何中的一个重要内容，用不同的方法计算同一块面积得到一个面积等式，再对这个面积等式进行整理或变换，所获得的证题方法称为等积变换，主要体现在面积法割补法，它们没有本质区别。 （一）面积法 例10．（三角形内角平分线性质）在中，AD为的平分线， 求证： 例11．正三角形所在平面上有一点P，确定P到三边的距离与正三角形高之间的关系。 （二）割补法 例12．将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转至的位置， 求 两个正方形重叠部分的面积。 例13．在直角坐标系中，矩形OABC顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求b的值。 例14．已知M、N是直角三角形ABC斜边上的三等分点，且，试求：斜边AB的长。 三、关于一题多解问题 在解题过程中，人们对解决问题的原则、方案、途径和方法存在着不同的思维形式，因此，对一个数学命题要采用不同方法给予解答，一题多解问题主要体现在添加不同的辅助元素，然后应用各个相关的知识点去解决。 例15.在中，于D，于E， 求证： 例16.已知中，AD是高，，BD=3，DC=2， 求的面积。 体验习题 如图所示，，PC//ＯＡ； ，若PC=4，求PD ２．已知在中，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＤ平分，求证：ＢＤ＞ＤＣ 3．已知实数ａ，ｂ满足，且．求ｔ的取值范围． 4．已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ是四个不同的有理数且， 求 5．设ａ，ｂ为整数，且方程的两个不同的正根都小于１，求ａ的最小值． 6．如图所示，点Ｍ和Ｎ三等分ＡＣ，点ｘ和ｙ三等分ＢＣ， Ａｙ与ＢＭ