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初探劉徽的窮盡法 初探劉徽的窮盡法 理學院i 數學系 j共藹生 一、導 - d A 口 十七世紀微積分發明以前，窮盡法( Me七hod of Exbaus七ion) 一直是推求 二雄曲鶴形面積，或一盤三維立體體積的一種頗為本質的方法:事實上，此一方法 所蘊涵的逼近觀念，確是溝通有限數學與無限數學的一座主要橋樑。(註一〉從數 學史的文獻來看，任何一個古文明民族在處理求積問題時，都不免觸及窮盡法，但 若論其發展歷程，則古希臘和古中國各自特色，都是數學史上的重大課題。 古希臘數學家Eudoxus (408-355 B.C.) 、Euclid (歐幾里得，約 300 B.C.) 和Archimedes (阿基米德， 287曙 212 B.C.) ，對窮盡法的理論及其應用 ，都有極卓越的貢獻(註二) ，而其淵源則更可上溯至古希臘詭辯學派的扭扭曲∞ (約西元前五世紀〉和Bryson (約西元前 450 年〉。血的i:phon在嘗試解決方圓 問題時，曾以圓內接正多邊形一再加大邊數並計算其面積自切法，來推求圓面積的 近1tt值 BrySOZ1則從內接、外切正多邊形同時著手(詮三) ，足見他們已有窮盡 法的模素構想。中國數學史上，魏晉劉徽(約三世紀〉則是最早提出窮盡法的數學 家。他在這一方面的成就，雖然較古希臘為晚，而且就方法而言，也不如後者老練 和成熟，但卸是獨立發展的(詳後文論證) ，其構想自有獨特的巧妙之處，值得數 學史研究者深切注意。 本文的目的，就是想對劉徽的窮盡法從事初步的考察。在論述過程中，我們乃 是以古希臘數學家的窮盡法為準攘，希望通過其對照，得以凸顯劉徽窮盡法的特色 。如此，與本文題旨有關的，顯然是窮盡法各自的發展脈絡或方法論本身，而非「 發明 J 的時間先後順序。因此，本文涉及「對照」或「比較J 事例時，大都是針對 其各自方法論而言，至於年代學的時間因素，則是暫時不加以考慮的。 二、〔幾何原本〕中的窮盡法 〔幾何原本〕是Euclid 的經典作品，這部書包括窮盡法的理論及若干個典型 的應用例。根攘數學史家T.L.Hea尬的研究， Euclid有關窮盡法的研究成果 s 均 直接受惠於Eudoxus (註四〉。說得更明確一點，窮盡法乃是Eud.oxus 所建立 ，繼由Euclid 所闡揚，而且rchimedes的貢獻，則是極靈巧樹巴它應用到很多求 - 579 一 師大學報第二十七期 顧問題上(註五)。因此，要想充分地認識窮盡法的理論，則〔幾何原本〕無疑是 最主要的第一手資料(註六)。 窮盡法的理論基礎乃是後世所謂的Eudoxus 或 Archimedes 原理(註七) , 也就是〔幾何原本〕卷10 命題 1 「考慮兩個不相等的量，如果從較大的重誠去大半(超過一半) ，再從剩餘的 部份誠去大半〈超過剩餘部份之半) ，這種手韻反覆進行，最後必定有某一剩 餘量比較小的一暈(開始考慮時的兩量之一)為小。 j 如用現代的數學符號來解說此一命題的意義，可設此兩不相等量為 a ， b ， ab a a a 。若從 a 誠去叭，其中 α1 玄，則 a 一αta 一互=互;再從剩餘的部份a一α1 a 一一α a-α a V;Y;去 α2 其中的 --.則 α 一αl 一α2 〈 , zl 2 一;依此類推，最 2 2 2