定积分的换元公式中.ppt

一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用 第三节 定积分的换元积分 1.定理 设函数 在 上连续；函数 在 （或 ）上有连续导数； 当 在 在 （或 ）上变化时， 在 上变化，且 ， ， 则有 上式叫做定积分的换元公式. 一、换元积分法 证 设 ， 则 2.说明 (1)定积分的换元公式中，用 把原变 量 换成新变量 时（这如同不定积分第二类 换元），积分限也要换成相应于新变量 的积 分限，但 的对应值可能不唯一，只要任取一 值即可. (3)换元公式也可反过来使用，即 (2)求出换元后的 的一个原函数 时，只要将新变量 的积分上下限分 别代入 中相减即可，不必象不定积分 那样再把 变成原变量 的函数 . 换元过程为 （这如同不定积分第一类 换元），且 , ;若此换元 过程是采用的凑微分法，没有写出新变量 ， 则不必换元，即 . 解 换元： ， ； 换限： ， ， ， ， 3.例题 例1 计算 注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换 元法），换元的同时必须换限。在计算 时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量， 补充：由定积分的几何意义知，该积分值等 于由 ，直线 所 围图形的面积（见右图）. 面积值为圆面积的 . 所以没有换限. 例2 计算 . 解法1. 换限： ， ， 换元： ， 原式＝ . 解法2. 例3 计算 . 解 例4 设 求 解 2解 1.设 在 上连续，则 ………① （1）若 为偶函数， ， ………② （2）若 为奇函数， ， 二、常用的定积分公式及应用 ………③ 证 2.设 是以 为周期的连续函数，则 ………④ 证