积分起源于求平面区域的面积与空间立体的体积，早.doc

§黎曼和與面積 主題1：拋物線下的區域面積 1.對於非多邊形的區域，古希臘人阿基米得提出具體的窮盡法，用於計算圓或圓錐曲線所圍的區域面積。利用圓內接正n邊形，與外切正n邊形的面積去逼近圓的面積，當n相當大時，兩者趨近於共同的極限值，這極限值就是圓的面積。 S在x軸的上方以及函數，圖形的下方，且左右分別以直線與為界。 ＝在範圍內區域S的面積。S1﹐S2﹐S3﹐S4﹐以A﹐A1﹐A2﹐A3﹐A4分別表示區域S﹐S1﹐S2﹐S3﹐S4的面積﹐則有 A＝A1＋A2＋A3＋A4。 3－5　區域面積的估計 　　函數 ＝在範圍內是遞增函數，S1﹐S2﹐S3﹐S4分別包含於高度為（）2﹐（）2﹐（）2﹐（）2且寬度為的長方形區域﹐又S2﹐S3﹐S4各包含有高度為（）2﹐（）2﹐（）2且寬度為的長方形區域﹐比較之下得出 A1＋A2＋A3＋A4≦．（）2＋．（）2＋．（）2＋．（）2 ＝（12＋22＋32＋42）＝﹐ 且A1＋A2＋A3＋A4≧．02＋．（）2＋．（）2＋．（）2 ＝（02＋12＋22＋32）＝﹐ 初步得到區域S的面積A滿足不等式≦A≦。 圖形下﹐且在範圍內的區域面積分成等寬度的四個長條形區域﹐進而求得在內區域面積的範圍，，把區域分成等寬度的n個長條形區域，具體的做法是把區間等分為長度是的n個區間，其分割點的x坐標分別是 ﹐﹐…﹐﹐這時鉛直線x＝，x＝，…，x＝ 就把區域S分成寬度為的n個長條形區域S1﹐S2﹐S3﹐…﹐Sn 其中Sj的左右界線分別是x＝與x＝﹐這區域Sj包含於高度為（）2且寬度為的長方形區域內﹐對j≧2﹐也包含有高度為（）2且寬度為的長方形區域﹐因此其面積Aj滿足 ≦Aj≦﹐j＝1﹐2﹐…﹐n﹐ 相加得出區域的面積A滿足 〔02＋12＋22＋…＋（n－1）2〕≦A≦（12＋22＋…＋n2）。 12＋22＋…＋k2＝﹐ 得出對任意正整數n﹐有 ≦A≦﹐ 取極限值得出 ≦A≦﹐ 又 ＝＝﹐ 且＝＝﹐ 故最後得出 ≦A≦﹐由夾擠定理知A＝。 y＝，，函數圖形下在範圍內的區域面積，採用步驟如下： (1)首先把區間分成個長度是＝的區間，坐標是，，…，，…，，＝，j＝。 ，，稱是區間的一分割。 3－8 (2)鉛直線，x＝xj (j＝)把給定的區域分成個長條形區域。 (3)的左右界分別是與，在區間任取一點﹐稱為參考點﹐以高度為 且寬度為的長方形區域面積 當面積的近似值。 (4)做為區域的近似值﹐因是連續函數﹐故極限值一定存在且唯一﹐並把這極限值定成區域S的面積。 稱為函數對分割的一個黎曼和，這和充當區域的估計值，當愈大時，所分割出的長條形區域寬度愈小﹐其和也愈接近區域的面積。 2.平面區域的面積定義： 設 f 是定義在區間的連續函數且 ，函數圖形y＝，x軸以及兩鉛直線，所圍的區域面積為＝，， 是區間的一分割且＝＝。 　　在黎曼和中，參考點的選擇很有彈性，因而產生各種的黎曼和，些較具代表性：參考點的選擇取區間的端點或中點 (1)梯形法： 如取左端點所得到的黎曼和為 ＝ 取右端點所得到的黎曼和為 ＝ 估計區域面積的梯形法是兩者的平均值﹐為 ＝。 (2)中點法： 中點法是取區間的中點， 所得到的黎曼和為 ＝ 。 若函數在區間的最大值是且最小值是﹐又＝，＝，取參考點＝時， 所得到的黎曼和： ＝ 稱為上和，以表示 取參考點＝時， 所得到的黎曼和： mjx＝（m1＋m2＋…＋mn） 稱為下和以表示。 範圍內，，j＝， 對任意點，，j＝ 相加得：﹐ 表示上和與下和把任意黎曼和夾在中間，是當上和與下和有共同的極限值時，這極限值就是黎曼和的極限值。 f（x）是連續函數，當n趨近於∞時，這些和都趨近於同一極限值，這些共同的極限值就是函數圖形下的面積。 ※重要範例 1. 設曲線與直線, 所圍成的區域為R, 若在x軸上將區間作n等分, 並將R作分割, 求其面積的近似值, 得上和為Un, 下和為Ln, 下列何者正確？(A)上和　(B)下和　(C)上和　(D)下和. 【解答】 (A)(B)(C)(D). ,,分別代入得, ,分別代入得, ,故選(A)(B)(C)(D). 2. 設與直線, 及x軸所圍的區域為R, 將分割成n等分, 試求Ln, Un及. 【解答】 , , . 將分割成等分, 分點各為1, , , …, , …, 4,  ,  ,則. 隨堂練習的圖形與直線, 及所圍成的區域為R,(1)若將閉區間四等分, 則下和　　　　　.(2)若將閉區間八等分, 則上和　　　　　.(3)若將閉區間n等分, 則下和　　　　　, 上和　　　　　.(4)由曲線與直線, 及所圍成的區域為R的面積為　　　　　. 【解答】 (1). (2). (3), . (4). (1)閉區間四等分割點依次為2, , 3, ,