第四十五单元数列极限与无穷级数的和.pdf

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2017-08-11 发布于天津
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第四十五单元数列极限与无穷级数的和

林信安老師編寫第四十五單元數列極限與無窮級數的和 (甲)極限的概念人類自古即有極限的概念，並且善用這樣的想法獲得許多豐碩的成果，這些成果都是人類文明的珍貴資產。底下列舉幾個例子來說明極限的想法： (1)圓周長與半徑的比為一定值：西元前四世紀，古希臘數學家歐多克索斯(Eudoxus of Cnidus)便利用極限的概念導出圓的周長 = 定值。半徑歐多克索斯的想法： / / 設 r,r 分別是圓 O 、O 之半徑，在這兩個圓內各放一個內接正 n 邊形 r / r A O/ A / 2 2 O A1/ A1 / / / / 將這兩個正 n 邊形 A A …A 與 A A …A 的周長分別記為 C 、C 1 2 n 1 2 n n n / / A A A A / / / 1 2 1 2 因為ΔQA A 與ΔO A A 相似，所以 = / 1 2 1 2 r r / / / / Cn n ⋅ A A n ⋅ A A Cn Cn Cn ⇒ = 1 2 = 1 2 = / ⇒ = / ，對於所有內接於圓的正n 邊形均成立。 r / r r r r r n 」逐漸增加，趨近於無窮大時，正 n 邊形的周長就逐漸趨近於「圓的周長」。當「邊數 Cn 圓O的周長 r r