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华长生制作 7.3 高斯型求积公式 如何构造高斯求积公式？ 高斯点与正交多项式的零点 高斯-勒让德求积公式 高斯-切比雪夫求积公式 一般积分区间[a,b]的处理 * * 第七章 微积分的数值计算方法 问题: 是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式 更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大? 度 为具有一般性，研究带权积分 求积公式为 为不依赖于 的求积系数. (1) 为求积节点， 可适当选取 使（1）具有 次代数精度. 问题 如果求积公式(1) 具有 次代数精度， 则称其节点 为高斯点，相应公式(1)称为高斯求积公式. 定义 根据定义要使(1) 具有 次代数精度，只要对 令(1)精确成立， 可以由上式求出 试构造下列积分的高斯求积公式： 例 令公式(1)对于 准确成立， 由于非线性方程组，通常 就很难求解. 而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式. 高斯点的基本特性 尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。 （2） 是高斯点， 因此，如果 因 即有 故(2)成立. 精确成立， 则求积公式(1)对于 充分性. 用 除 ， 记商为 余式为 即 , 其中 . 对于 由(2)可得 证明 必要性. 设 则 （3） 由于求积公式(1)是插值型的，它对于 是精确的， 即 再注意到 知 从而由(3)有 可见求积公式(1)对一切次数不超过 的多项式均精 确成立. 因此， 为高斯点. 定理表明在 上带权 的 次正交多项式的 零点就是求积公式(1)的高斯点. 有了求积节点 ，再利用 对 成立， 解此方程则得 的线性方程. 则得到一组关于求积系数 Gauss型求积公式的构造方法 (1)求出区间[a,b]上权函数为 正交多项式pn+1(x) . (2)求出pn+1(x)的n个零点x0 , x1 , … xn 即为Gauss点. (3)计算积分系数 。 常见的正交多项式及高斯求积公式 勒让德多项式(Legendre) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 拉盖尔多项式(Laguerre) 埃尔米特多项式 (Hermite ) 2. Legendre多项式的性质: 令它对 准确成立，即可定出 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式 是中矩形公式. 若取 的零点 作为节点构造求积公式 再取 的两个零点 构造求积公式 令它对 都准确成立，有 由此解出 三点高斯-勒让德公式的形式是 列出了高斯-勒让德求积公式的节点和系数. 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0.5555555556 0.8888888889 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834 ±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425 8 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 ±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0 7 0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889 ±0.9061798459 ±0.5384693101 0 5 0.3478548451 0.6521451549 ±0.8611363116 ±0.3399810436 4 ±0.7745966692 0 3 1 ±0.5773502692 2 6 n 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346