关于丢番图方程x^y+y^x=z^z.pdfVIP

数 学 年 刊 2013，34A(3)：279-284 关 于丢番 图方 程 +Y ： z冰 张 中峰 罗家贵 袁平之z 提要 利用p-~tic对数线性型估计，证明了方程 +Y =2 满足 ，Y，z均大于 1的整数解 ，Y，) 必然两两互素且有 z2．8×109． 关键词 指数丢番图方程，对数线性型，素因子 MR (2000)主题分类 llD41，11D61 中图法分类 O156．7 文献标志码 A 文章编号 1000．8314(2013)03—0279—06 1 引 言 Kenichiro[】建议求出方程 +Y+ =0的所有整数解．刘燕妮等在文 [2】中 回答了这个问题，证明了该方程的所有整数解为 (，Y，)=(一2，1，1)，(1，一2，1)，(1，1，一2)， (1，一1，一2)，(一1，-2，1)，(一2，1，一1)．设a，b，C为奇正整数，H=max{a，b，c)，在文 3【]中， 本文的第 l和第3作者研究了更一般的情形，证明了方程 axy+by+CZ ：0的整数解 必满足 xyz≠0且m~x{Ixl， ， )≤2H．同时还证明了方程 +Y= 的正整数解满 足 max{x，Y，)exp(exp(exp(5)))．在本文中，我们放弃文 [3】中利用对数线性型估计素 因子的界，再结合 ABC猜测的已有结果得到解的上界的途径，在做了更加精细的讨论 和改进后，直接利用对数线性型方法，对稍微有点类似的方程 +Y=z，得到了它的 正整数解的一个比较小的上界估计。 2 预 备 知识 我们给出几个已知的结果．定理2．1即为费马的经典结果，见文 [4]中第319页的练 习 l(b)．定理 2．2—2．3分别为文 [5-6】中的结果．定理 2．1—2．3可以用来证明我们要讨论的 方程没有不互素的整数解． 定理 2．1【】方程 一Y=Z 没有使得xyz≠0的整数解． 定理 2．2[】方程 +Y=z，n≥3没有使得 xyz≠0的整数解． 定理 2．3。【】方程 一Y =1，m≥2，n≥2使得xy≠0的正整数解为 (，Y，m，礼)： (3，2，2，3)． 设P为素数，詈为非零有理数，满足gcd(a，b)=1．若詈=呼，P十cd，rIc1d为整 数，则定义 (罟)=r，称为鲁的p-adic赋值． 本文2012年4月 13日收到， 2012年 10月 12日收到修改稿． 肇庆学院数学与信息科学学院，广东 肇庆526061． F_~mail：zhl2zh31f~yahoo．com．cn；luojg62@yahoo．com．cn 。华南师范大学数学科学学院，广州 510631．E-maihyuanpz~scnu．edu．ca 本文受到国家 自然科学基金 (No和广东省自然科学基金 (No．$2012040007653)的资助 280 数 学 年 刊 34卷A辑 令 ，X2为非零有理数，p为素数，满足 ()：Pk盟y2]、=0．记g为满足 (()一 1)0， ((嚣)一1)0的最小正整数． 令 E为一个满足 (() 1 的实数．需要 A=( 一( 的p-adic赋值的一个精确上界，其中b1，b2为正整数．令 11，A21为实数，使得 logA ≥max{loglXil，logfyil，Elogp}， i=1，2， 并记 6 = bl +i52 · 这样一来我们就有下面的定理，即为文 [7】中定理 2． 定理2．4[]沿用上面的记号，若 ，嚣乘性无关，则当P为奇素数，或P 2且 (嚣一1)≥2时，有 、 A)≤ (max{logb+log(Elogp)+0．4，6Elogp,5})2log 。g 。 (2．1) 及