数学归纳法-岳西职教中心.PPT

岳西职教中心:崔达昶 一知识梳理 1 区别归纳法和数学归纳法 2 数学归纳法原理是什么? 如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件： (1) p(n0)成立,即当n=n0(例如 n0=1)时,命题成立; (2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立; 根据(1)、(2)知p(n)成立 3 用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是怎样的? 二错例剖析 对数学归纳法实质的理解 例.下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么？ (1)当n=1时,左边= , 右边= (2)假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时,左边 =右边,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. 三 数学趣事 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想. 四 专项训练(归纳猜测) 1 归纳、猜测： 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳， 其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第 二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形， 再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长为 1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层 外壳的面积s 专项训练(归纳猜测) 13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 … 试猜测： 13+23+33+43+ … +n3= 专项训练(归纳猜测) 2 古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆球数依次为1，3，6…，这种数叫做“三角形数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6, … ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ … (1)求t2 －t1,t3－t2,t4－t3的值，并猜测tn－tn－1值。 (2)求t1 ＋t2,t2＋t3,t3＋t4的值，并猜测tn－1＋tn值。 专项训练(对命题的理解) 解 析:令f(n)=（n＋1) ＋(n＋2) ＋…＋（n＋n） f(k)= (k＋1) ＋(k＋2) ＋…＋(k＋k) f(k＋1)=[(k＋1) ＋1] ＋[(k＋1) ＋2] ＋…＋[(k＋1)