绝对收敛及条件收敛.ppt

小结 * * 一、 交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为 或 其中，un?0 (n=1, 2, …) 定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 满足条件 (1) (2) un?un+1 (n=1, 2, …) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1. (级数收敛的必要条件) 证 只需证明级数部分和Sn当n??时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和 由条件(2)： un?un+1，un?0, 得S2m?以及 由极限存在准则： 2) 取交错级数的前2m+1项之和 由条件1): 综上所述，有 例1. 讨论级数 的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 由莱布尼兹判别法，该级数是收敛. 例2. 判别级数 的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 令 x?[2, +?)，则 x?[2, +?)， 故 f (x)? [2, +?)，即有un?un+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛. 解 原级数收敛. 二、 任意项级数及其敛散性 (1) 级数的绝对收敛和条件收敛 定义：若级数 对收敛的；若级数 但级数 定理：若 (即绝对收敛的级数必定收敛) 证： ? un ? |un| ? 从而 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 解 故由定理知原级数绝对收敛. 定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数 若 (1) ?1时, 级数绝对收敛； (2) ?1 (包括?= ??)时，级数发散； (3) ?=1时，不能由此断定级数的敛散性. 例5. 判别级数 的敛散性. 解： 由P一级数的敛散性， 即原级数绝对收敛. 例6. 判别 的敛散性，其中，x??1为常数. 解：记 当|x|1时，?=|x|1, 原级数绝对收敛. 当|x|1时，?=1, 此时不能判断其敛散性. 由达朗贝尔判别法： 但|x|1时， 从而，原级数发散. 例6. 级数 是否绝对收敛? 解： 由调和级数的发散性可知， 故 发散. 但原级数是一个收敛的交错级数： 故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.