8、（2008海南、宁夏理）在直角坐标系xOy中,椭圆C1的左.docVIP

8、(2008海南、宁夏理)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2。F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。 （1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。 8．解：（Ⅰ）由：知． 设，在上，因为，所以， 得，． 在上，且椭圆的半焦距，于是 消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）． 故椭圆的方程为． （Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， 因为，所以与的斜率相同， 故的斜率． 设的方程为． 由消去并化简得 ． 设，， ，． 因为，所以． ． 所以． 此时， 故所求直线的方程为，或． 9. (2008湖北文)已知双曲线的两个焦点为的曲线C上. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程 9.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分13分） (Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4＝， 将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2， 故所求双曲线方程为 解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2. 2a=|PF1|－|PF2|= ∴a2=2，b2=c2－a2=2. ∴双曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6=0. ∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F, ∴ ∴k∈(－)∪(1,). 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是 |EF|= = 而原点O到直线l的距离d＝, ∴SΔOEF= 若SΔOEF＝，即解得k=±, 满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和 解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ① ∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F， ∴ ∴k∈(－)∪(1,). ② 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 |x1－x2|＝. ③ 当E、F在同一支上时（如图1所示）， SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=； 当E、F在不同支上时（如图2所示）， SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝ 综上得SΔOEF＝，于是 由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝. 若SΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②. 故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和y= 10. (2008湖北理)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围. 10.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分） （Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线C的方程为. 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为＞0，b＞0）. 则由　 解得a2=b2=2, ∴曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴ 　　 ∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）. 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是 ｜EF｜＝ ＝ 而原点O到直线l的距离d＝， ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有 ③ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ). 解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1-k2）x2-4kx-