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二项式定理应用 第一课时 华侨中学 黄玲玲 教学目标 掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。 教学过程: 【设置情境】 问题 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。 试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？ 分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是 10×（1＋11％×10）＝21（万元） 本金10万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是 那么如何计算的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如的展开式。 【探索研究】 由 那么 展开后，它的各项是什么呢？ 容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项： 现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？ 在上面4个括号中： 每个都不取b的情况有1种，即种，所以的系数是； 恰有1个取b的情况下有种，所以的系数是； 恰有2个取b的情况下有种，所以的系数是； 恰有3个取b的情况下有种，所以的系数是； 4个都取b的情况下有种，所以的系数是； 因此 。 请同学们归纳、猜想 一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式。 在这里，教师应当指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。 二项展开式有以下特征： （1）共有项。 （2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。 利用二项式定理可以求二项展开式。 例1 展开。 解： 。 例2 展开。 解：先将原式化简，再展开 。 例3 用二次式定理证明： （1）能被100整除； （2）能被整除。（） 证明：（1）∵ ∴能被100整除。 （2）可先让学生仿照（1）证明，教师再讲解。 ∵ 而 ∴是正整数。 故能被整除。 【演练反馈】 1．计算：。 （由一名学生板演后，教师讲解） 2．求证：。 （由一名学生板演后，教师讲解） 3．求展开式中含x项的系数。 （学生练习后，教师分析讲解） 4．解决本节课开始提出的问题。 【参考答案】 1．解： 。 2．证明：右边 左边 故原式得证。 3．解法1： 。 显然只有中含有x项，其系数为 。 解法2：由于 ∴展开式中含x项的系数是 。 4．解： 由此可见，按年利率9％每年复利一次计算的要比年利率11％单利计算更有利，10年后多得利息1.645万元。 【总结提炼】 1．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的规律。利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。 2．对课本第105页这样一段话“容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积”，要能透彻理解，在解题中适时应用会显得很方便。 板书设计: 10．4 二项式定理（一） （一）设置情境 问题 （二）二项式定理及其结构特征 （三）例题与练习 例1 例2 例3 练习 （四）小结 —第1页●共5页—