中值定理等式证明题型题法大全收藏版.pdf

中值定理题等式证明题型题法大全 http://bbs.qinjing.cc 中值定理等式证明题型题法大全收藏版 1 f x 1 ( ) 1．设函数f x 在 0, +¥ 上连续，且 f x dx - , lim = 0 ，求证：存在x Î 0, +¥ ， ( ) [ ) ò0 ( ) 2 x®+¥ x ( ) 使得f x +x = 0 。 ( ) 【解】设F x = f x +x ，于是 ( ) ( ) 1 1 1 F x f x +x 1 ( ) ( ) F x dx = é f x +xùdx = f x dx + 0, lim = lim = 0 +1 =1 0 ò0 ( ) ò0 ë ( ) û ò0 ( ) 2 x®+¥ x x®+¥ x 根据零值定理：存在x Î 0, +¥ ，使得F x = 0 Þ f x +x = 0 。 ( ) ( ) ( ) 1 x 2 ．设f x 在 0, 1 上连续，且f 0 = f x dx = 0 ，求证：存在x Î 0， 1 ，使得xf x = f x dx 。 ( ) [ ] ( ) ò0 ( ) ( ) ( ) ò0 ( ) ¢ é x ù f t dt x 2 êò0 ( ) ú 【解】因为xf x - f t dt = x × , x ¹ 0 ， ( ) ò0 ( ) ê x ú ê ú ë û ì x f t dt ïò0 ( ) f x 设 F x = , x ¹ 0 ， 因