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函数四性质2:奇偶性 一. 定义 f (x ) 为奇函数⟺对∀ ,f ( x ) f (x ) 恒成立;f (x ) 为偶函数⟺对∀ ,f ( x ) f (x ) x ∈D − =− x ∈D − 恒成立. 二. 判断 方法一(定义): ⑴ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ⑵ 确定f (−x ) 与f (x ) 的关系; ⑶ 作出相应的结论:若 ( ) ( ) ,则f (x ) 是奇函数;若f (−x ) f (x ) ,则f (x ) 是偶函数. f x f x − =− 方法二(图像): ( ) 为奇函数⟺f (x ) 的图像关于原点对称;f (x ) 为偶函数⟺ ( ) 的图像关于 f x f x y 轴对称. 方法三(运算):奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇× (÷)奇=偶;偶× (÷)偶=偶;奇× (÷)偶=奇. 三. 结论 ⑴ 为奇函数⟹ (0) 0 或 ;f x 为偶函数⟹f − f . f (x ) f f (−1) =−f (1) ( ) ( 1) (1) ⑵如果 ( ) 是偶函数,那么f (−x ) f (x ) f (|x |) ,反之亦成立. f x ⑶函数 x −x 为偶函数,函数 x =− −x ≠ 为奇函数; f x a =+a a a ≠ f x a a a a ( ) ( 0, 1) ( ) ( 0, 1) ax +1 ax −1 ⑷函数 ( ) , 为奇函数; f x ( ) ( 0, 1) x f x x a = a ≠ a −1 a +1 ⑸函数f x m +nx , m −nx 为奇函数; ( ) loga f (x ) loga (a =0, a ≠1) m −nx m +nx ⑹函数f (x ) log (x x 2 1) (a 0,a 1) 为奇函数. =+ + ≠ a 四. 习题 1. 对于定义域是 的任何奇函数f (x ) ，都有（ ）（92 三南16） R A．f (x ) −f (−x ) 0 (x ∈ ) B．f (x ) −f (−x ) ≤0 (x ∈R) R C．f (x )f (−x ) ≤0 (x ∈R) D．f (x )f (−x ) 0 (x ∈R)