001-普通物理学讲座之一初等函数.doc

普通物理学讲座之一——初等函数 作者：Michaelexe 初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。（摘自百度百科） 我们知道，数学中的运算有七种：加、减、乘、除、乘方、开方、取对数。 加、减、乘、除在小学已经学了，乘方、开方在初中学，高中学对数。 为了能让刚上初一的学生都能听懂，我就从乘方讲起。 1.乘方 n为自然数 2.开方 若，则 m为自然数 现在我们看, 而 定义 这样我们就可以定义幂函数（μ为实数，且为常数）和指数函数（a0且a≠1）。 3.取对数 若，则，这就是对数的定义。 这样我们可以定义对数函数（a0且a≠1）。 4.三角函数 先讲角度为0 o~90 o的三角函数。 如图，在直角三角形ABC中， 由勾股定理易得 现在讲任意实数的三角函数 先介绍弧度制，用角度对应的弧长除以半径，就是角度弧度制表示。 易得， 建立平面直角坐标系 可以这样定义任意角的三角函数 显然，所有的三角函数都是周期为2π的周期函数，特别的， tanθ和cotθ为最小正周期为π的三角函数。 那么，能不能用0~π/2的三角函数表示任意实数的的三角函数呢？当然能，那就是诱导公式，诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”。 下面我们举个例子， 这里的0≤θ≤π/2，那么，我们怎么得到这个公式呢？首先，π/2为π/2的奇数倍，所以首先正弦变余弦。然后，θ是第一象限角，在第一象限，sinθ为正值，而θ+π/2在第二象限，第二象限中， cosθ为负值，所以要变号。需要指出的是，尽管我们认为θ为第一象限角，但对于θ为任意实数，该公式仍成立。 下面我们不加证明地给出常用三角函数公式（证明可以参见高中数学课本） 1.和差角公式 2.倍角公式 3.和差与积的关系 这样我们可以定义下以三角函数： 正弦函数：y=sinx 余弦函数：y=cosx 正切函数：y=tanx 余切函数：y=cotx 正割函数：y=secx 余割函数：y=cscx 5.反三角函数 对正弦函数y=sinx，如果令x和y互换，即x=siny，我们容易得到 x∈[-1,1]，因为y=sinx为周期函数，所以在x=siny中，对于一个x，有无数的y与之对应，但是，如果我们限定y∈[-π/2,π/2]，那么，x与y就一一对应了，这时我们可以记作y=arcsinx。 同理，我们可以定义其他反三角函数。 y∈[0,π] y=arccosx y∈[-π/2,π/2] y=arctanx y∈[0,π] y=arccotx 复合函数 若函数在处有定义，函数在处有定义，则函数在处有定义，称是由函数和复合而成的复合函数，u为中间变量。