15年八年级数学同步培优竞赛详附答案第十九讲平行截割.doc

名师第十九讲 平行截割 平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论． 利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形： 例题求解 【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= ． (河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题) 思路点拨 图中有形如“X”型的基本图形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一条线段的代数式表示． 【例2】如图，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为( ) A． B．1 C． D．2 (江苏省泰州市中考题) 思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含，的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系． 【例3】 如图，BD、BA，分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足． (1)求证：四边形AEBD为矩形； (2)若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且，求证：△AHG是等腰三角形． (厦门市中考题) 思路点拨 对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG． 【例4】 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC． (1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF； (2)如果P是BC上的任意一点(中点除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由． (上海市闽行区中考题) 思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF，即需证明，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明． 注 若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形． 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在： (1)利用比例线段求线段的长度； (2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题． 【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM×PN=PR×PS (山东省竞赛题) 思路点拨 由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系 学力训练 1．如图，△ABC中有菱形AMPN，如果，则 ． (南通市中考题) 2．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则 ；若，则 ．(江苏省镇江市中考题) 3．如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为 ． (苏州市中考题) 4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE=x (㎝)，BF=y(cm)，用x的代数式表示y 得 ． (黑龙江省中考题) 5．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论： ①；②；③；④ ． 其中正确比例式的个数有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q是BD、CE的中点，则等于( ) A． B． C． D． 7．如图，已知在平行四边形ABCD中，O1、O2，O3为对角线BD上三点，且BO1=OlQ2= O2O3=O3D，连结AOl并延长交BC于点C，连结EO3延长交AD于点F，则AD：FD等于( ) A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1 (河北省中考题) 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，则DF：FE等于( ) A．5：2 B．2：l C ．3：1 D．