2006年高考第一轮复习数学24函数的奇偶性.doc

2.4 函数的奇偶性 ●知识梳理 1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数. 2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）. （2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数. （5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. ●点击双基 1.下面四个结论中，正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕. 答案：A 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数. 答案：A 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是 A.f（cosα）＞f（cosβ） B.f（sinα）＞f（cosβ） C.f（sinα）＞f（sinβ） D.f（cosα）＞f（sinβ） 解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0. ∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________. 解析：定义域应关于原点对称， 故有a－1＝－2a，得a＝.又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0. 答案： 0 5.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤ ② ③④ ●典例剖析 【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2） C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0） 剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减， ∴f（x）在［－2，0］上单调递减. ∵y=f（x）是偶函数， ∴f（x）在［0，2］上单调递增. 又f（－1）=f（1），故应选A. 答案：A 【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（x－1）·； （3）f（x）=； （4）f（x）= 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由得 故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）= =，这时有f（－x）==－=－f（x），故f（x）为奇函数. （4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明. （2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 【例3】 函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意