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2017年全国高中数学联赛模拟试题11 第一试 （时间：8:00-9:20 满分：120） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1. 已知数列满足：则的最大值为 . 2. 已知,则的值域为 . 3. 不等式的解集是 4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面的距离为 ． 5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是 6.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点分别是△的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为 7.已知方程在上有一根，则= 8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，的期望的变化范围，求证： 10.设.若，求及数列的通项公式； 若，问：是否存在实数使得?证明你的结论 点到直线的射影分别为， （1）求使成立的点的轨迹曲线；（2）若与曲线恰有7个交点，求的值 2017年全国高中数学联赛模拟试题11 加试 （时间：9:40-12:10 满分：180） 一、（本小题满分40分） 设是给定的正整数，且.对于个实数，记的最小值为.若，试求的最大值 二、（本小题满分40分） 如图，设依次是一个圆上的六个点，满足，直线与交于点， 直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点， 点在线段上，使得. 求证：. 三、（本题满分50分） 试确定所有同时满足的三元数组，其中为奇素数，为大于1的整数 四、（本题满分50分） 2017年全国高中数学联赛模拟试题11 第一试参考解答 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1. 已知数列满足：则的最大值为 . 解：构成的点列排列在一个凸函数中，因此当点列分布在由点确定的直线上时其值最大，所以的最大值为. 2. 已知,则的值域为 . 解：显然当时等号成立，另一方面 ，等号当时成立，所以值域为 3. 不等式的解集是 解：由得，原不等式等价于，即 相减得，此时，原不等式成立，即不等式解集为 4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面的距离为 ． 答案：．解一、补形法，如图，过的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂直平分正方体的对角线，而，所以到面的距离． 解二：等体积法，易知， 而点到平面的距离，所以． 又，即，， ，，则， 若到面的距离为，则，所以． 5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是 6.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点分别是△的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为 7.已知方程在上有一根，则= 8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，的期望的变化范围以记比赛经次结束的概率．若为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数， 因而有．考虑头两次比赛的结果：（1）甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为； （2）甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为． 比赛经次结束，必为偶数，则1,2两次，3,4两次，……，两次均未分胜负． 若，则第两为有胜负的两次，从而有． 若，比赛必须结束， 所以　． 由，知．令，则，所以． 令则 因 ，所以有 ． ，求证： 10.设.若，求及数列的通项公式； 若，问：是否存在实数使得?证明你的结论 解：（1）解法一:当时，， 是公差为1，首项为的等差数列，故，即 解法二： 。 因此猜想.下面用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立. 假设时结论成立，即.则 即时结论成立.所以， 设，则.令,即，解得. 下用数学归纳法证明加强命题：.当时，，所以，结论成立.假设假设时结论成立，即. 易知在上为减函数，从而，即 再由在上为减函数得 故，因此，即时结论成立. 综上，符合条件的存在，其中的一个值为. 点到直线的射影分别为，（1）求使成立的点的轨迹曲线；（2）若与曲线恰有7个交点，求的值 2017年全国高中数学联赛模拟试题11 加试参考解