2008年4月1日.ppt

Copy right By Dr.Fang * 2008年4月1日 第二章 静电场 第2章 静电场 §2-1 静电场的基本方程 一、静电场的场强叠加原理 1.点电荷产生的电场 2.多个离散点电荷产生的电场 3.连续分布电荷产生的电场 二、静电场方程和边界条件 1.基本方程 将不随时间变化的条件代入到麦克斯韦方程组中，可得到静电场的基本方程： 积分形式： 微分形式： 物理意义：第一式说明静电场是保守场，是无旋场，不存在闭合的电力线；第二式说明静电场是有源场，电荷是场的发散源，电力线起始于正电荷，而终止于负电荷。 2.边界条件 矢量形式 标量形式 §2-2 电 位 (2-2-1) 方向导数：函数?在p点处沿某一方向对距离的变化率。即下式： x y z α、β、γ分别是l 方向与x 、 y 、 z轴的夹角。 l 方向的单位矢量为： 显然： 一、梯度（复习） 标量场函数? 梯度的定义： 方向：标量场函数?变化率最大的方向；大小：最大变化率值。 由此可见，矢量 就是标量场函数? 的梯度。 可见矢量 在 l 方向的投影就是 l 方向上的方向导数. 二、电位与电场强度的关系 1.电位函数的引入 ① 数学上看，凡一矢量 ，则此矢量一定可用一个标量的梯度表示，即 。 根据 ，电场强度矢量一定可以写成某个标量的梯度。 ②从物理上看，凡是保守体系（体系中的作用力是保守力）都存在着一个势函数，而静电场是保守场，因此也存在着一个势函数，就叫做电势或电位函数。 为此引入电位函数?，它与电场的关系是： (2-2-1) 式中负号说明，电场强度矢量方向由正电荷指向负电荷，即指向电位 ? 减小的方向，而电位梯度方向是电位 ? 增大的方向。 等电位面的方程： 电位函数方向导数与其梯度的关系： 2.电位差 3.电位参考点 将某点 作参考点： 无穷远点作参考点： 球坐标系点电荷产生的电位： 也可以写成： (2-2-10) 二、电位函数的边界条件 所以： 由(2-1-13)式： ，可得 根据(2-2-5)，有 电位的边界条件： 例2-2-1 电偶极子的中心位于坐标原点O，求它周围的电位分布。 解：场点和正负电荷(源点)的位置矢量为： 三、电位叠加原理 对于电荷连续分布的电位，有 对于电荷离散分布的电位，有 由式(2-2-16)可知，电偶极子的电位为 以 为变量在零点作泰勒展开，考虑l/2 ? r，取一次项，则： ， 同理可得： 将上两式代入到电偶极子的电位表达式，可得到 对电位进行梯度运算可求得电场强度矢量 更正：26页14行x→a，193页。自己看例2-2-2，2-2-3，2-2-4。 如果不知道电荷分布怎么办？ 求电场的方法： ①库仑定律：离散电荷和连续分布电荷； ②高斯定理：对称分布电荷； ③求电位，再求梯度：非对称分布电荷。 静电场微 分方程： 直角坐标系的 泊松方程为： 圆柱坐标系的 泊松方程为： 球坐标系的泊松方程为： §2-3 泊松方程和拉普拉斯方程 边值型：在有限空间，通过边界值和微分方程求解。 静电场问题 分布型：在无限空间，通过积分公式求解。 拉普拉斯方程： §2-4 静电场的惟一性定理 一、边值问题 1．狄里赫里型（第一类）边值问题 (2-4-1) 2．纽曼型（第二类）边值问题 3．混合型（第三类）边值问题 二、惟一性定理(Uniqueness Theorem)的证明 唯一性定理：当空间各点的电荷分布与边界条件已知时，空间各部分的场就唯一地确定了。 证明：见书。 惟一性定理的意义：不管通过什么方法得到的解，哪怕是猜测出的解，只要它能满足边值条件，这个解就是惟一正确的解。 §2-5 镜像法 镜像法：通过电流或电荷的镜像来解决静电场问题的方法。 镜像法意义：可以使一些具有特殊电荷分布的场求解变得简单。 镜像法的原则：用镜像电荷代替感应电荷，并且保证待求区域的电荷分布以及边界条件不变。 一、平面镜像法 【例2-1】求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为d 处的点电荷q 的电位。 解：根据题意，电位满足如下条件： 由唯一性定理可知，可采用镜像法求解。假设将导板移走，在与点电荷q对称的位置(0, ?d, 0)处(即y = ?d处)放置一个等量异号的负电荷 ? q，如图所示，则： 验证： 说明：通过镜像法来求解静电场问题时，只能求得所给定空间静电场的电场强度矢量E 和电位分布函数 ?，而不能求这个空间以外其他空间的静电场和电位分布。 【例2-2】正电荷q与相交成45°角的