2008年公开课演示.pdf

2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 1 2008 年全国硕士研究生入学统一考试试题 （I）选择题： 数学一（5），数学二(7)，数学三（5），数 学四（5） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若 A3 0 ，则（ ） (A) E −A 不可逆，E +A 不可逆. (B) E −A 不可逆，E +A 可逆. (C) E −A 可逆，E +A 可逆. (D) E −A 可逆，E +A 不可逆. 答：（C） 解法一： 3 3 E −A E 2 2 − + + (E A )(E A A ) E 3 3 E +A E E A E 2 A A 2 E ( + )( − + ) 所以E −A 可逆，E +A 可逆． 解法二： 由于A 是幂零矩阵，只有０是A 的特征值， 2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 2 1和−1 都不是A 的特征值，于是 E −A ≠0, E +A ≠0 ，所以E −A 可逆， E +A 可逆． 数学一（6） 设A 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程 x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ (x , y ,z)A y 1在正交变换下的标准方程 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ z ⎝ ⎠ 的图形如图，则A 的正特征值个数为 （ ） (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 答：（B） 解：这是双叶双曲面，其标准方程是 2 2 2 z x y ． − − 1 c2 a2 b2 2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 3 数学二（8），数学三（6），数学四（6） ⎛1 2⎞ 设A ，则在实数域上与 合同矩阵 ⎜ ⎟ A ⎝2 1⎠ 为（ ） ⎛−2 1 ⎞ ⎛ 2 −1⎞ (A) ⎜ ⎟ (B) ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2⎠ ⎝−1 2 ⎠ ⎛2 1 ⎞ ⎛ 1 −2⎞ (C) ⎜ ⎟ (D) ⎜ ⎟ ⎝1 2⎠ ⎝−2 1 ⎠ 答：（D） 解法 1：A 的第 2 行乘−1，第 2 列乘−1