2008级高代AII(A卷).doc

一．填空题（共30分，每小题5分） 1、两个阶矩阵和相似、合同、等价的定义分别是：___________________________________________________________________________________________________________________________________. 2、在中对于任意的，定义内积为, ，，求使得 成为的标准正交基，则____________，________. 3、二次型的矩阵是_______________________，二次型的矩阵是______________________________. 4、设为阶方阵，若，且，则必有一个特征值___________(其中为阶单位阵)。 5、设二次型，则当满足___________时，为正定矩阵；则当满足___________时，为负定矩阵。 6、设为实的阶反对称矩阵，为维实向量，且，则内积___________（取中的标准内积）. 二．计算题（共40分） 1，设二次型通过正交线性替换化为标准形， （1），求参数的值； （2），求所用的正交线性替换。 2,求最小二乘问题 的全部解，其中. 3， 求矩阵的列空间在中的正交补空间的一个标准正交基，其中 . 4，求极限 ，其中. (注：若，则是指 . ) 三．证明题（共30分） 设是欧氏空间中的一个固定向量，求证： （1）是的一个子空间； （2）的维数为. . 设为正定矩阵，其中与分别为阶、阶对称矩阵，为矩阵。 (1)计算，其中； （2）利用（1）的结果判断是否为正定矩阵，并证明你的结论。 3，设阶矩阵和满足，且是的特征值 证明：（1） ，; （2）若是实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得 第 2 页（共3页） 第 1 页（共3页）