2009-2010第一学期高等代数2试卷A(殷艳敏).doc

山东建筑大学试卷 共3 页 第 1 页 2009至2010第 1 学期 课程名称 高等代数2 试卷 A 专业： 信息与计算科学 考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每题2分，共16分）。 1、同一个线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。 （ ） 2、阶矩阵与对角矩阵相似的必要条件是有个全不相同的特征值。 （ ） 3、若都是维线性空间的子空间，而且，则。 （ ） 4、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是保持向量的长度。 （ ） 5、如果都是正定矩阵，那么也是正定矩阵。 （ ） 6、数域上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 7、有限维欧氏空间的每一个子空间都有唯一的正交补。 （ ） 8、由数域P上全体反对称矩阵作成线性空间的维数是。 （ ） 二、填空题（每题3分，共18分） 当取值范围是_______________时，二次型的正惯性指数为3。 2、若线性变换关于基的矩阵为，那么关于基的矩阵 为 ___ 。 3、k级若当块的最小多项式为__________________。 4、设是线性空间上的线性变换，而且是的子空间，当满足条件________________________，则是的不变子空间。 5、 3级矩阵的标准形是_______________________。 6、两个有限维线性空间同构的充要条件是_______________________。 三、计算与解答题（共42分）。 1、（8分）设是线性空间V上的线性变换，如果，但，问向量组 (0)是否线性无关？并说明理由。  山东建筑大学试卷 共 3页 第 2 页 2、（12分）设是全体矩阵所构成的实线性空间，定义的变换，其中。试求： （1）在基下对应的矩阵。 （2）的核的一组基。 3、（12分）已知二次型，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，A的特征值之积为， 求的值； 用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换对应的正交矩阵。 山东建筑大学试卷 共3页 第 3 页 4、（10分）求矩阵的不变因子、初等因子以及若当标准型。 四、证明题（共24分）。 1、（8分）设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使 。 2、（8分）证明：和是直和的充分必要条件是 3、（8分）设是两个实对称矩阵，且是正定矩阵，证明：存在一个实可逆矩阵使与同时为对角形。 ···········································································································装 订 线·································································································· 班级 ______________ 姓名 ______________学号 ______________ ···········································································································装 订 线··································································································