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第四章 非线性方程数值解法 方程是在科学研究中不可缺少的工具 方程求解是科学计算中一个重要的研究对象 几百年前就已经找到 但是,对于更高次数 了代数方程中二次至 的代数方程目前仍 四次方程的求解公式 无有效的精确解法 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法 问题描述 求解非线性方程 f (x ) 0 其中， 是非线性函数。 f 例：代数方程 n n−1 f x =+ ++ + n = 。 ( ) a x a x a x a 0, 1 n n−1 1 0 例 超越方程 : x f x =+ x ( ) e sin 0 方程的解亦称方程的根或函数的零点。 根可能是实数或复数。 * * f x 0,f x ≠0, * 若 ( ) ( ) 则 x 称为单根； k −1 f x * f x * f ( ) x * 0 若 ( ) ( ) ( ) k f ( ) x * ≠0 * ( ) x 而 ，则 称为 k 重根。 常见的求解问题有两种： (1) 要求定出在给定范围内的某个解。 (2) 要求定出在给定范围内的全部解。 非线性问题，除少数情况外，一般不能直接利用公式 求解。而要采用某种迭代解法。即构造出一近似值序列逼 近真解。 几个关键问题： 1.根的存在性。 2.根的隔离找出隔根区间（只有一个根的区 间），获得根的粗糙估值。 3.加工--根的精确化（按照指定精度要求）。 4.1 区间二分法 定理： f(x) ∈C[a,b], f(a)f(b)0 则f(x)=0在(a,b)至少有 一实根。考虑只有一个实根的情况。 不妨设 f (a ) 0, f (b ) 0 ⎛ a +b ⎞ ）若 输出根 否则：若 ， 1 , f x 0 x x , f x 0 ( ) ⎜ 0 ⎟ 0 0 ⎝ 2 ⎠ 令 x ， b 反之 a, x . a1 0 b1 a1 b1 0 2), 对[a ,b ] 区间重复 1）的计算，并产生 [a ,b ], [a ,b ]