2010-插值与逼近3.pdf

2.8 最佳平方逼近 • 方法的提出： 用简单函数去近似给定区间上的连续函数，并满足一 定的近似条件。在插值中，指插值条件；在逼近问题中，这 个近似条件常用逼近函数与被逼近函数之间的某种距离来表 示。不要求通过已知的这n＋1 个点,而是要求在整体上“尽 量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差，近 似规则应使从整体上使误差尽量的小一些。 • 不同的距离，对应于不同的逼近方法。 • 最佳平方逼近： 最佳平方逼近函数是存在且唯一的 n ∑(ϕ ,ϕ )α (f ,ϕ ) (k 0,1,...,n) k j j k j 0 法方程 正交基底 对于一般的基底，当n 较大时，求解法方程的计算量很大;但当n=4 时，法方程的系数矩阵往往是病态的,结果往往不能令人满意。故考虑采 用正交基底。 生成集合 ψ Span{ψ ,ψ ,...,ψ } 0 1 n 法方程 n * ∑(ψ ,ψ )a ( f ,ψ ),(k 0,1,..., n) k j j k j 0 因基底正交，法方程系数矩阵为对角阵 * (ψ ,ψ )a ( f ,ψ ),(k 0,1,..., n) k k k k n (f ,ψ ) 所以 S *(x ) ∑ k ψ (x ) k k 0 (ψ ,ψ ) k k 例 以勒让德多项式作为逼近多项式的基底 * (ψ ,ψ )a ( f ,ψ ) k k k k * (f ,ψ ) k a k (ψ ,ψ ) k k ⎧ 0 m ≠n 1 ⎪ ∵ P (x )P (x )dx ⎨ 2 ∫−1 n m ⎪ m n ⎩2n +1 x ∈[a ,b],t ∈−[ 1,1] 令x C t =+C ,使得 1 2 t 1 , x b;t