2010下09经管_《线性代数》期末B卷答案_孙燕.doc

（试题答案卡正页） 试题编号： 拟题人： 集 体 中央民族大学 2010 — 2011 学年第 一 学期 经济/管理 学院（系） 专业 级 班 《高等数学(三)(线性代数)》期末试题（B1卷答案） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 满分 30 10 10 10 20 20 100 一、判断题（10题，每题3分，正确的请说明理由，错误的说出理由或仅举出反例） 1. 如果矩阵,则Ｂ=C。 错。如Ａ=diag(1,0),Ｂ=－C=diag(0,1)。 2. 如果x,y是n（n 1）维非零列向量，且。则A的行最简形一定有零行。 对。R(A)=1n. 3. 如果方阵Ａ是可逆的，它的行最简形是单位阵。 对。如果行最简形U不是单位阵，则它有零行，Ａ U有零行，4. 如果矩阵A的行最简形有零行，齐次线性方程组Ax=0不一定有无穷多解。 对。因为行最简形有零行，R(A)不一定小于未知量的个数。 5. 对于n阶方阵Ａ、Ｂ，则det(Ａ+Ｂ) = det(Ａ)+ det(Ｂ). 错。－Ｂ=Ａ=diag(1,1). 6. Ａ是n阶方阵，c是常数，则det(cＡ) = c det(Ａ). 错。Ａ=diag(1,1)，c=2. 7. 若方阵Ａ≠O(零矩阵),但是Ak = O ,则A是可逆的. 错。det(Ａ) =0，不可逆。 8. Ａ是n阶方阵，x是n维非零列向量,且Ax=0,则det(A)=0。 。。 9. 如果S是一个子空间，则S是一个向量空间。 对。子空间也满足对向量的加法和数乘封闭。 10. R2是R3的子空间。 错。R2不是R3的子集合。 二、下面的问题是关于对角矩阵A＝diag(2,3,6)。(10分） 1. 求det(A)，A是否可逆？求det(A)A可逆。 2. 若3阶方阵Ｂ满足求矩阵Ｂ。,,,,= diag(2,3/2,6/5)。三、下面的问题是关于3阶方阵。 (10分）1. 对新矩阵（A，E）施以行变换，将前3列化成单位阵，即（A，E）（E，B）；（4分） 解：（A，E）= 2. B=A－1，请说明理由。（6分） ∵对新矩阵（A，E）施以行变换，即用有限个初等阵左乘（A，E），即Pl...P1（A，E）A= P（A，E）=（P A，P E）=（P A，P）=（E，B）；∴B=P= A－1。 下面的问题是关于设向量组线性无关,且,，。证明向量组，，也线性无关。 证明：设, ∵向量组线性无关, ∴(*).∵==6≠0. ∴方程组（*）只有零解， ∴向量组，，也线性无关。 五、下面的问题是关于矩阵。(20分）1．将矩阵A化为行最简形；（4分） 解： 2． A有几个线性无关的列向量？（4分）A有2个线性无关的列向量。 3．求出AX=0的一个基础解系（或解空间的一组基）；（6分） 解：ξ1=（－2，1，0， 0）T； ξ2=（0， 0，－1，1）T； 4．如果向量b是A的4个列向量的和，求Ax=b的全部解。（6分） ∵向量b是A的4个列向量的和，∴Ax=b的特解η*=（1，1，1，1）T；∴全部解x=c1ξ1+c2ξ2+η*, c1+c2∈R. （试题答案卡附页） 试题编号： 拟题人： 集 体 中央民族大学 2010 — 2011 学年第 一 学期 经济/管理 学院（系） 专业 级 班 《高等数学(三)(线性代数)》期末试题（B3卷答案） 六、下面的问题是关于二次型。(20分）已知二次型的秩为2。 1. ,写出对称矩阵A，并求c；（6分） 解：，c=3. 2. 求A的特征值和特征向量；（6分） 解：，特征值：0，4，9. ,特征向量η1=（－1，1，2）T；属于0的。 ,特征向量η2=（1，1，0）T；属于4的。 ,特征向量η2=（1，－1，1）T；属于9的。 3. 求一个正交线性变换，将二次型化为标准形。（8分） 解：正交，线性变换x= =P=Py, .