解题历程与策略.DOC

數學解題歷程與策略的相關研究 「解題」的意義有二： 1.「知識的表現」（performance based on knowledge），指解題者擁有特殊解 決問題的學科知識，如幾何學、代數學； 2.「解題的表現」（performance involving problem solving），指解題者以已知一般的學科知識，以程序性的方式，如四則運算、畫圖等，靈活運用來解決問題（楊瑞智，1994）。 Polya（1957）指出「解題」就是為了達到一個被清楚地意識到卻又不能立即達到的目標，期間沒有方法被告知，但卻要克服困難，繞過障礙去發現達到此目標的方法。 Lester（1980）認為解題是指當面臨一種情境時，沒有一種保證可以解決的算則，個人必須運用所有可獲得的資源去完成解答。 劉錫麒（1997）則認為解題是（1）在問題空間中的搜尋歷程。（2）問題表徵的重組歷程。（3）不斷省思的歷程。 綜合許多專家學者的看法，也就是說「數學解題」是當人面臨有關數學的問題情境時，無法立刻獲得答案，必須運用過去所學的知識、概念、原理和經驗等將認知結構重組而產生策略以求得解答的一種心智歷程。 黃敏晃（1991）提到數學解題的目的是要訓練、培養學生、使他們有能力與自信面對並解決非例行性的數學問題。在建構理論的觀點下，教師是「佈題者」（problem poster），而不是「解題者」（problem solver）；是讓學生自行提出有效的解題活動，而非只是讓學生做一個模仿者（張景媛，1995）。 因此，「解決問題」特別受到數學教育學者的關注，數學解題歷程的研究在數學教育的工作上佔有極重要的意義，而以下對數學解題階段與策略加以探討： Polya(1957)是第一位將解題歷程加以區隔、系統化階段的學者，他認為成功解題主要來自於擬定一個可行的策略，策略可能是逐漸的成形，也可能是在不成功的嘗試及一段時期的醞釀之後，瞬間突來的靈感。在其所著的「怎樣解題」(How to Solve It)一書中，特別強調解題的重要，而將解題歷程分為四個階段：1.了解問題；2.擬定計劃；3.執行計劃；4.回顧解答(如表2-2-1)。Polya認為並非要解題者固定地依照四個階段循序漸進，而是啟發解題的一種方法(劉秋木，1989)。 Schoenfeld(1985)在其所著的『數學解題』(Mathematical Problem Solving)一書中，強調影響數學解題成敗的因素需要考慮四個變項： 1.資源(resources)：2.捷思(heuristics)：3.控制(control)：4.信仰系統(belief system)：指解題者對數學的觀點。 然而如何有效地運用資源、如何採用適當的捷思策略，常常是由控制因素所主導。因此，Schoenfeld特別在解題歷程中，以控制因素的觀點來修改Polya之解題策略，將解題歷程分為：1.讀題、2.分析、3.探索、4.計劃－執行、5.驗證、6.轉移等六階段，並列出此六階段的相關問題(如表2-2-2)、其解題基模大綱(如圖2-2-1)與常用之解題策略(如表2-2-3)所示。表2-2-1：Polya的數學解題歷程啟發法(Heuristic Method) 第一步 必須了解問題 瞭解問題 未知數是什麼？條件是什麼？可能滿足條件的各個部分嗎？ 條件足夠決定未知數嗎？不夠嗎？矛盾嗎？ 做一個圖，導入適當的計劃。 分開條件的各部分。你能把它們分別寫下來嗎？ 第二步 找出未知數和已知數之間的關係 如果找不到 就只得考慮一些輔助問題 想辦法擬定一個解題的計劃 擬定計劃 你以前見過它嗎？或者見過式稍微不同的相似問題嗎？ 你知道什麼相關的問題嗎？你知道有什麼可能有用的定理嗎？ 注視未知數！試想出一個有相同或相似的未知數的熟問題。 這裡有一個相關的，以前你解過的問題，你能應用它嗎？ 你能應用它的結果嗎？你能應用它的方法嗎？ 你是否該導入些輔助元素，以便應用！ 你能改述這問題嗎？你能改述得更不同些嗎？回到定義！ 你若解不出這問題，就事先解個相關的問題。 你能想出一個更相關的問題嗎？一個更一般的問題嗎？ 一個更特殊的問題嗎？一個類似的問題嗎？ 你能解決問題的一部份嗎？保留一部份條件，丟開其餘部分； 這樣決定的未知數會如何？你能從已知數得出什麼有用的東西來嗎？ 有沒有其他已知的東西可以用來決定未知數？ 你能改變未知數、或已知數，必要時兩者同時改變，使新未知數和新已知數能夠更加互相接近嗎？ 你用了所有的已知數嗎？你用了全部條件嗎？ 問題中包含的重要觀念都已考慮到了嗎？ 第三步 實行你的計劃 實行計劃 實行你所擬定的計劃，校核每一步驟。 你能清楚的看出哪些步驟是正確的嗎？你能證明它是正確的嗎？ 第