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06　递推数列 海盐元济高级中学 崔宝法 【内容概述】 引言 数列问题是竞赛中的常见题,它涉及数列的通项与求和、数列的性质等方面.由于某些数列有现成的公式可以求出通项和部分和，所以本专题在已知等差数列和等比数列的有关定义、性质、解法的基础上，通过典型例题说明求递归数列通项的有关定理和解题技巧. 定义 对于任意由递推关系 确定的数列称为递推数列，或递归数列, 式叫做这个数列的递归公式. 许多数列都是通过递归公式给出的,而通过递归公式来求递归数列的通项公式是数学竞赛的重要课题.数列的递归式有非线性递归式和线性递归式两种.这里我们只研究非线性递归数列通项公式的求法. 这里只介绍几种常见的非线性递归数列的通项公式的求法. 【例题精选】 1.型 特点:相邻项的差等于一个关于的表达式. 常用解法: 累加法,或迭代法. 例1．已知数列满足,求数列的通项公式. 例2．已知数列中,.求的通项公式. 例3．已知数列中,, 求的通项公式. 2.型 特点:相邻两项的比等于一个关于的表达式. 常用解法:累乘法,或迭代法. 例4．在数列中,. 求的通项公式； 令求的前项的和． 3.型 常用解法: (1)阶差法 由 ① 得 ② ①、②相减得 从而数列是一个等比数列，继而可求出通项公式. (2)不动点法 定义3 方程的根称为函数的不动点. 利用递推数列的不动点,可将某些递推关系所确定的数列化为待比数列或较易求通项的数列,这种方法叫做”不动点法”. 定理3 若,方程(即方程)的根为, 则递推关系可化为 ,即数列是以为公比的等比数列.可化为,再还原,利用对应系数相等求出的值. 例5．设数列前项和为,试求数列的通项公式.4.型 常用解法: 当是常数时,即为上述型； （2）当不是常数时，两边同除以，化为型. 例6．数列的前项和为,,求数列的通项公式. 5.型 常用解法: (1)当时即为等比数列; (2)当时,两加取常用对数得 ,此即为型. 例7．已知数列满足. 求的通项公式；（2）令，求. 例8．(浙江2008年高考第22题)已知数列.记: 求证:当时,；；（3）. 例9．（2007年浙江高考第21题）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且． （I）求，，，； （II）求数列的前项和； （Ⅲ）记， ， 求证：． 6.型 常用解法:不动点法 定理4 设,数列满足递归式,且初始值. (1)若有两个相异不动点,则有 （其中）， 即是以为公比的等比数列； （2）若只有唯一的不动点，则有 （其中）， 即是以为公差的等差数列. 例10．设数列满足,且,求. 7.()型 常用解法:不动点法 定理5 设,数列满足,,且初始值,若是的两个不动点,则有. 例11．已知,且,求数列的通项公式. 【巩固练习】 1.已知,求数列的通项公式. 2.已知,求数列的通项公式. 3.已知,为数列前项的和, 求数列的通项公式. 4.设数列中,下列关系式成立: .求数列的通项公式. 5.设数列中,, 求数列的通项公式. 6.在数列中, ,求数列的通项公式.06 【递推数列】1．即型,累加可得. 2．即型,用不动点法可得,求得. 3．利用,得,即为型,于是可得. 4．从方程得两个相异根:, 所以可化为 （其中），即 （其中）， 所以,得. 5．变形成,即型,可解得. 6．倒数可得,得,所以.06　递推数列 海盐元济高级中学 崔宝法 【内容概述】 引言 数列问题是竞赛中的常见题,它涉及数列的通项与求和、数列的性质等方面.由于某些数列有现成的公式可以求出通项和部分和，所以本专题在已知等差数列和等比数列的有关定义、性质、解法的基础上，通过典型例题说明求递归数列通项的有关定理和解题技巧. 定义 对于任意由递推关系 确定的数列称为递推数列，或递归数列, 式叫做这个数列的递归公式. 许多数列都是通过递归公式给出的,而通过递归公式来求递归数列的通项公式是数学竞赛的重要课题.数列的递归式有非线性递归式和线性递归式两种.这里我们只研究非线性递归数列通项公式的求法. 这里只介绍几种常见的非线性递归数列的通项公式的求法. 1.型 特点:相邻项的差等于一个关于的表达式. : 累加法,或迭代法 满足,求数列的通项公式. 解:由题设可得 将上面个式子相加得: 以上是累加法. 若用迭代法,则 . 例2 已知数列中,.求的通项公式. 解: , .