2010年安通学校GCT数学内部讲义15.doc

Author: 山东seo PAGE 1 Author: 山东seo 第二讲 矩 阵 一.矩阵概念和运算 1.矩阵的定义和相等. 2.加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质. 尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等. 若是阶方阵,则 特殊方阵 （上、下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，行矩阵，列矩阵，零矩阵） 3.逆矩阵 定义： 可逆 公式： 可逆矩阵的运算性质 4. 伴随矩阵 定义： 基本关系式： 与逆矩阵的关系： 行列式： 秩： 5．矩阵方程 设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为 设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为 二.初等变换 矩阵的初等行（列）变换： 交换两行（列）； 用一个非零常数乘某一行（列）； 某行（列）的倍加到另一行（列）上． 初等矩阵及其相关运算 (初等行变换) 三.矩阵的秩 1.定义 在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式． 若矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩为。矩阵的秩记作． 显然有 中有一个阶子式不为零； 中所有阶子式全为零． 对于阶方阵， 对于阶方阵，若，则称是满秩方阵． 重要定理 对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩． 矩阵的秩的求法 阶梯形矩阵 满足以下条件的矩阵称为阶梯形： 所有零行都在矩阵的底部； 非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方； (初等变换)阶梯形,则 中主元的个数 4. 矩阵的秩有以下一些常用的性质： （１）．. （２）． （３） 　　（4）若可逆，则．若可逆，则 典型习题 １． 都是阶阵,则下列结论不正确的是( ) A . B. C. D. (A) 2.，且，求，　． (-108, 32/3) 3．, 则( ) 4.设则中第3行第2列的元素是 A. B. C. 1 D. (B) 5.设满足,则( ). A. B. C. B D. (B) 6. 都是阶阵,.则下列结论正确的是( ) A. B.或 C. D. (B) 7.设都是阶阵,满足.则 A. B. C. D. (A) ８．设 .则下列结论不正确的是( )　　　 A．可逆. B. .不可逆. C.可逆 D.可逆 　 (B) ９. ，且则（ ） A. B. C. D. (B) 10．， 则（ ）。 (1) 11．设，（ ）时 。 (-3) 13．设 则（ ）。 (1) 14. 设则 A. B. C. D. (D)