2010数学2班 02 韦林.doc

 （1） 157.证明：如果有理数系数多项式有无理数根，其中a，b，d是有理数，是无理数， ，则也是的根。 证：证法I.，则是有理系数多项式。用去除，设（1）其中商及余式都是有理系数多项式。由于是的根，固由（1）式得（2）如果，则由上式可得。 这与是无理数的假设矛盾。故必。从而有（2）式又得s=0.于是由（1）式知。整除，故也是的根。 证法2.由于及上面所得的多项式都是有理数多项式，故两者的最大公因式也是有理系数多项式，从而与或者互素，或者他们的最大公因式为。但由于与有公根，不可能互素，故最大公因式必为，从而整除，故也是的根。 158.证明：如果有理系数多项式有无理根，其中a，b，c，d是有理数，而，和是无理数，且。则，，也是的根。 证：令： 则是有理系数多项式，由于，及都是无理数，所以是有理数域上的不可约多项式。因此，或，或。但由于与都有根，故与不可能互素，从而。于是的另外三个根即，，也是的根。 159.证明：如果有理系数多项式有根，其中a，b，c，是有理数，而是无理数，且，则，，也是的根。 证：令， 则是有理系数多项式。由于是无理数及，所以是有理数域上的不可约多项式。又因与都有，两者不互素，故。从而的另外三个根，，也是的根。 160设为有理系数多项式的一个k重根，证明：若a为有理数，b为正有理数且为无理数，则也是的一个k重根。 证：由于 （128页-----131页）