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2010水木艾迪考研冲刺班微积分-三十六技
考研数学三十六技
微积分上(三十六技之 1-6)
清华大学 数学科学系 刘坤林主讲
三十六技之一:极限问题的快速分析与处理摸着石头过河
定义理解是基础,运算性质是关键。罗式法则适时用,验证条件靠实验,有件事情别
忘记,做预处理求简单。极限结论可引用,标准极限要记清。无穷小量替换时,必须做到
合法性。
重点:等价无穷小量运用,标准极限的广义化理解与处理,必要时采用具有皮亚诺余项
形式的泰勒公式。
程序化分析法/摸着石头过河:判断一步状态,确定一个方法,作出一步分析与计算。
这些方法依赖于对极限性质与可引证结果的熟练掌握,如:
(1)三个存在准则
存在准则 1:单调有界必有极限
存在准则 2:夹逼准则
存在准则 3:无穷小量与有界函数之乘机仍为无穷小量
(2)三个标准极限的灵活运用
sinα(x)
标准极限 1: lim 1
x →(⋅) ( )
α x
1
( )
标准极限 2: ( )α x
lim 1+α(x) e
( )
x → ⋅
( ) ( )
+Δ −
Δy f x 0 x f x0 ′
标准极限 3: lim lim f (x )
0
Δx →0 Δx Δx →0 Δx
f (x) −f (x )
或f ′(x ) lim 0
0
Δx →0 x −x
0
′ f (x 0 +α(Δx )) −f (x0 ) ′ f (x 0 +α(h)) −f (x0 )
f (x ) lim 或 f (x ) lim
0 0
Δx →0 α(Δx ) h→0 α(h)
其中α(Δx) 或α(h) 是 (或 )时的高阶无穷小量。
Δx →0 h →0
导数定义作为标准极限应用的两个要点是:
必须确认函数自变量的一个固定点,必须有明确的自变量增量记号形式。
(3)几组常用等价无穷小量( ):
x →0
(1) x ~ sin x ~ tanx ~ arcsinx ~ arctan x
1 2
1−cos x ~ x
(2)
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