2011-2012扬州大学第二学期高等代数试卷A.doc

2011-2012扬州大学第二学期高等代数试卷A 数学与财经系数学与应用数学专业 级1、2班 答卷说明：1、本试卷共3页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、字迹工整，卷面整洁。 题号 一 二 三 四 总 分 总分人 题分 30 20 30 20 核分人 得分 复查人 得分 评卷人 1、实二次型的矩阵为 ； 2、设为实数域上由矩阵的全体实系数多项式组成的空间，其中 ，则的一组基为 ； 3.设与是的两个子空间，则+是直和的充分必要条件是 ； 4、在欧氏空间中，向量，，那么＝ ，＝ ； 5、复矩阵的全体特征值的和等于 ，而全体特征值 的积等于 。 6、已知三维欧氏空间中有一组基，其度量矩阵为， 则向量的长度为 ，向量与的 距离为 。 7、已知是的 一个子空间，则＝ ，它的一组基 ； 8、已知的两组基（Ⅰ）：和（Ⅱ），又的线性变换满足：，则在基（Ⅱ）下的矩阵为 ；基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为 ； 9、若矩阵的特征值是，则的特征值是 ； 10、已知二次型，则当满足 时，二次型是正定的。 得分 评卷人 1、在线性空间中，是的解空间，是的解空间，是的解空间，则。 （ ） 2、在全体二维实向量集合中,按如下规定的加法与数乘运算： ，构成的线性空间中，向 量与是线性相关的； （ ） 3、若都是的线性变换，且，则的核与值域都是的不变子空间； （ ） 4、数乘变换在任何基下的矩阵都相等；( ) 5、对于欧氏空间中任意向量，是中一个单位向量； ( ) 6、是维欧氏空间的一组基，分别是中的向量在这组基下的坐标，则； （ ） 7、线性变换的特征向量之和仍是特征向量；（ ） 8、是上的4维线性空间；（ ） 9、两个级正交矩阵之和是正交矩阵； （ ） 10、欧氏空间的内积是一个双线性函数. ( ) 得分 评卷人 1、设,是四维线性空间的一组基,已知线性变换在这组基下的矩阵为 （1）求在基,下的矩阵; （2）求的特征值与特征向量. 2. 设二次型 ，求一正交变换 化 为标准形。  得分 评卷人 1、设是级实对称矩阵且正定，为实矩阵，证明：为正定矩阵的充要条件是. 2、设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：，，也是一组标准正交基。  本试卷共3页，第2页 本试卷共3页，第3页 本试卷共 页，第 页 一、填空：(每空2分，共20分) 密封线 扬州大学高等代数 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 内 不 要 答 题 扬州大学高等代数 装订线 系 学 号 姓 名 密封线 系 学 号 姓 名 装订线 密 封 线 内 不 要 答 题 密封线 系 学 号 姓 名 装订线 四、证明题：(每小题10分，共20分) 三、计算题：(每小题15分，共30分) 二、判断：(正确的用“√”表示，错误的用“×”表示，每 小题2分，共20分)