2011年高中数学联赛(B卷)第8、9题解法探究.pdf

中学生数学 -2012年 8月上 ·第 447期(高中) 黢 2011年离巾数学联赛(B卷)第89题解法探究 孝 广东省广州市番禺叶1学杨华 ll作室 (5】1400) 杨华 寸 学 竞 第 8题 抛物线 ：一2 (j，一 )(())上 赛 动点 到点 B (3，0)的距 离 的最小值记为 蝠 (p)，求满足 (户)一2的所有实数 P的和． 0 ／ 八 富 解法一 设抛物线上动点A(，)， 有 y2—2p(Lz，一 )，则 IAB 一(_’一3)+ 一 ( 一3) +2户( ) 一 j’+ 2(P 3)’+ (9一P ) 一 (+p一3)z 2 ~6p，(≥ ) P。一2，此时IAB 的最小值 (p)一2． (1)若 3 ≥ ，即Op~2，则当 一3一 时，lABI。取得最小值 ，[(p)]一一2 + 6p．义d()===2，所 以一2 +6 =4，解得 ：P y 一 1，P2—2． 0 (2)若3-- 等，即p2，则当 一 时， 0 AB 取得最小值，[c，(P)]z： ： ． 又 2 ：{ (P)一2，所以 二， 一4，解得：P一10． I六1此，满足 d(P)一2的所 有实数 的不11 因此，满足 d(P)===2的所有实数 P的和 为：PI+P2+P ：10+1+2—13． 为 ：P+pz+ 。一1+2+ 10—13． 点评 解法二是 “数形结合法”，数学家华 点评 解法一通常称为 “目标函数法”，即 罗庚说 过 ：“数缺形 时少 直观 ，形 少数 时雉 人 是把所求的 目标 (jABl)用一个 函数来表示 ， 微．”这里要注意的是抛物线 y一2 (一， )与 通过求 函数的最值 (或值域)来求m所求 目标 的最值 (或范围)，这是一种求最值 (或参数范 网( 3)十 一4相切 围)常用的方法．将 问题 中的 “抛物线”改为椭 是 AB 取得最小值 的必 网、双}Hj线一样可以求解． 要条 件 ，不 是 充 分 条 件 解法二 为平面上与 B(3，0)的距离为 (如 图4)．同时抛物线 0 ＼／ 2的点的轨迹是 ：(一3)+Y。一4，依题 意知 ， 一 2P( P