2012数二模3答案(标准).doc

数二模拟3答案 一、选择题 （1）B（2）D（3）D（4）D （5）B（6）D（7）A（8）D 二、填空题 （9） （10） 1 （11） （12） （13） （14）8 三、解答题 （15）设连续，，，求 解 令，，令，.于是有 （16）计算函数在区间上的平均值. 解 函数在区间的平均值为. （17）设在上连续，且，证明 ，其中 证明 设，则，该式两边取绝对值 于是 （18）设，是有方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求. 解 由，得， 再由，得，解得 ， （19）试求微分方程的一个解，使由曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积最小. 解 由方程，得通解为 由与直线绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为 由，得唯一驻点. 由实际问题可得最小值一定存在，而驻点唯一，故该点即为最小值点，从而所求的微分方程为. （20）计算二重积分，其中 解 积分域是圆域 令，，则 （21）设函数在上有三阶导数，且，设，试证在内存在一个，使. 证明 由知，在上满足罗尔定理的条件，因此，使 又由知.对在上应用罗尔定理，有，使 而，使，故对在上应用罗尔定理，知，使. （22）设为三阶矩阵，为3维列向量.若向量组线性无关，且，，. (1)求矩阵的特征向量；（2）设，求. 解 ， 因为线性无关，所以可逆，于是 ，即， 则与有相同的特征值， 由，得 于是的特征值为 （2），的特征值为，，，于是的特征值为，故. （23）设实二次型经过正交变换后得到的标准型为，是的伴随矩阵，且向量满足，求二次型. 解 由于的特征值为，所以.对两边左乘，并利用得，这表明是对应于特征值的特征相量. 取，，则两两正交，将它们分别规范化为，，， 令，则为正交矩阵，且 所以二次型. 5