2013年上海高一数学自主招生专题第四讲 ：二次函数问题.doc

2013年上海高一数学自主招生专题第四讲 ：二次函数问题 一元二次函数的形式 （1）一般式：（） （2）顶点式：（） （3）式：（） 【典例分析】 【例1】（1）二次函数的图象如右图试确定下列各式的正负：a ;b ;c ；a－b＋c ；b2－4ac ; a＋b＋c ; （2）如果函数对任意实数t都有，那么（ ） （3）二次函数的图象的对称轴是直线，试比较的大小。 【例2】设二次函数满足，且的图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式。 【例3】已知，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围。 【例】当时，求函数的最大值和最小值． 当时，求函数的最小值(其中为常数)． 已知方程在区间内有两个不等的实根，且对任意实数恒有，求。 【例6】已知关于的方程（1）证明：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；（2）若对于，相应的方程的两根分别为，求的值。 【例7】二次函数的图象与轴有两个不同的交点，若时，。（1）试比较与的大小；（2）证明：；（3）当 时，求证：。 【例8】. 已知抛物线，点，，求抛物线与线段有两个不同交点的充要条件。、设为实数，函数， （1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值。【例10】. 已知函数的图象如右图所示,则 【例11】.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． 【例12】对于二次函数，若存在实数，使得成立，则称点为二次函数的不动点。（1）二次函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求的值； （2）对于任意实数，二次函数总有两个相异的不动点，求实数取值范围。 【针对练习】 抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．求函数的最大值和最小值为 ________ ．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？已知关于的函数在上． 当时，求函数的最大值和最小值；当为实数时，求函数的最大值．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．抛物线都过一定点，求此定点的坐标。 对于二次函数，若存在实数，使得成立，则称点为二次函数的不动点。（1）二次函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求的值； （2）对于任意实数，二次函数总有两个相异的不动点，求实数取值范围。 设二次函数满足条件： （1）当为任意实数时，，且； （2）当时，； （3）的最小值为0。求的解析式。  进才中学高一年级数学深广课程（三）二次问题 【典例分析】 【例1】（1）二次函数的图象如右图试确定 下列各式的正负：a ;b ;c ；a－b＋c ；b2－4ac ;a＋b＋c 。 （2）如果函数对任意实数t都有，那么（ ）A （3）二次函数的图象的对称轴是直线，试比较的大小。 解由是二次函数的图象的对称轴，得。又二次函数中，因而当时，函数值随着自变量的增加而增加。所以，。 【例2】设二次函数满足，且的图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式。 解1 由，得函数的图象的对称轴为。故可设。 由，又， 得 （1） 又在轴上的截距为1，得 （2） 解（1）、（2），得 。所以， 。 解2 设，由在轴上的截距为1，得；由，得，即。故。由 及 ， 得 。所以， 。 【例3】已知，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围。 分析 函数解析式可化为。 它的图象是由两段抛物线弧组成，因此方程的三个 不同的实数解表现为直线与其中一段抛物线弧有两个交点， 与另一段抛物线弧仅有一个交点。观察它们的图象易知，当时， 方程有一解；当时，方程有两解。 解 （1） 时，由，得。由两根之和为1，得此方程大于1的解至多一个。 设，原方程可化为 。原方程有一个大于1的解，即此方程有一个正解。由，得时，方程 有一个大于1的解； （2） 时，由，得。 设，原方程可化为 。原方程有两个小于1的解，即此方程有两个负解。 由，得时，方程 有两个小于1的解； 综合（1），（2），当时，关于的方程有三个不同的实数解。 【例】当时，求函数的最大值和最小值． 当时，求函数的最小值(其中为常数)． 解：作出函数的图象．当时，，当时，． 函数的对称轴为．画出